- •Министерство образования российской федерации
- •Казанский государственный энергетический университет
- •Элементы теории функций комплексноого переменного
- •Цель работы
- •Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
- •Геометрическая интерпретация кч
- •Тригонометрическая форма кч
- •При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме
- •Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
- •Показательная форма кч
- •Области и линии на комплексной плоскости
- •Ряды с кч
- •Определение функции комплексной переменной
- •Элементарные функции комплексной переменной
- •Производная фкп
- •Конформное отображение
- •Криволинейный интеграл от фкп
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Неопределенный интеграл от фкп
- •Основная теорема интегрального исчисления
- •Интегральная формула Коши
- •Бесконечные ряды
- •Нули функции
- •Ряд Лорана
- •Вычисление интегралов по формуле Коши
- •Теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов
- •Определение порядка полюса
- •Вычисление интегралов
- •Устные экзаменационные вопросы
Производная фкп
Опр. Производная однозначной ФКП w = f(z) есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента
lim = при ( 20 )
Выбор кривой для процесса произволен. У разных функций значение производной может зависеть или не зависеть от этого выбора.
Опр. ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) наз. дифференцируемой в точке z , если её частные производные первого порядка от u(x,y), v(x,y) непрерывны и значение производной в точке z не зависит от выбора кривой для процесса .
Требование независимости значения производной от выбора кривой для процесса приводит к зависимости между частными производными – условиям Коши – Римана
, ( 21 )
Доказательство. Процесс определяют два процессаи. Отношение бесконечно малыхh(х) может быть различным в разных точках окрестности z . Перейдем к главной части приращений: илиg(x) - уравнение траектории сближения двух точек. Представим отношение =как функцию отh и определим условие обращения этой функции в константу. Заменим вна дифференциалы и затем перейдем к пределу
du = u`x dx + u`y dy , dv = v`xdx + v`ydy
= =
Независимость производной от h выполняется при условии B = i A или u`y + iv`y = i(u`x + iv`x) , что и приводит к равенствам ( 21 ).
Поскольку частные производные связаны между собой, то выражение для полной производной ФКП имеет разные формы
= А ===( 22 )
Опр. ФКП w = f(z) наз. аналитической в области D , если она дифференцируема в каждой точке области.
Пр. Проверим аналитичность функции w = z* по формулам ( 20 ) и (21). Пусть движение от точки z +z к точке z идет по кривой y = g(x). Тогда при
lim = lim = lim =
т.е. предел отношения приращений функции и аргумента зависит от выбора кривой. Имеем u = x , v = - y . Тогда u`x = 1, v`y = - 1 , т.е. условия Коши – Римана ( 20 ) для w = z* не выполняются функция не аналитическая.
Внешний признак аналитической функции:
ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) является аналитической, за исключением отдельных точек, если х, у входят в неё только в комбинации x + i y.
Покажем, что это требование эквивалентно условию Коши – Римана.
Заменим в w(x,y) x на z – iy и продифференцируем по у
= +i [] =
= -i+i [] =
При выполнении условий Коши – Римана получаем , т.е. функцияw не зависит от у , а только от z . Т.о., замена в функции действительной переменной f(x) аргумента х на z приводит к аналитической функции f(z).
Пр. Функция w = x + 2i y = z + iy не аналитическая, а функция w = x2 – y2 + 2ixy = z2 - аналитическая.
Вычислим производные от нескольких элементарных функций.
1) w = z2 . Т.к. u = x2 – y2, v = 2xy, то==
= = 2x + i2y = 2z.
Аналогично доказывается общая формула = n zn - 1 ( 23 )
2) w = ez . Т.к. по ( 11 ) ez = ex (cos y + i sin y) , то = = = ex (cos y + i sin y) = ez.
Производная от экспоненты равна самой функции =ez ( 24 )
3) w = sin z. Т.к. по ( 12 ) sin z = sin x ch y + i cos x sh y, то c учетом ( 13 )
= = cos x ch y - i sin x sh y = cos z ( 25 )
4) w = ln z . Т.к. по ( 16 ) ln z = ln () +i [ arctg() ] ,то
==+ i== ( 26 )
Аналогично вычисляются следующие производные
( cos z )` = - sin z , ( sh z )` = ch z , ( ch z )` = sh z ,
( arcsin z )` = , (arcosz )` = , ( arctgz )` = ( 27 )
Таким образом, производные от основных элементарных функций от действительных и комплексных переменных полностью совпадают. Правила дифференцирования также сохраняются, т.к. они следуют из общих свойств пределов. (Производная от суммы функций равна сумме производных и т.д.)
Продифференцируем первое уравнение из ( 21 ) по х , второе по у и сложим их
, ( 28 )
В результате получаем уравнение Лапласа для u и аналогичным образом для v , т.е. мнимая и действительная части всякой аналитической функции являются функциями гармоническими. Их общее свойство: изменение функции вдоль Ох и вдоль Оу идет с одинаковым по модулю ускорением. Но не всякое сочетание двух гармонических функций образует аналитическую функцию. Функции u и v должны быть сопряженными, т.е. связанными условиями Коши-Римана. Зная u можно построить v и наоборот.
Пр. Дана действительная часть функции u = x3– 3xy2 + 1. Найти f(z),
Функция u(x,y) должна быть гармонической, т.е. 6x = -(-6x).
Решение. Вычислим =( x3– 3xy2 + 1) = - 6xy . Заменим по условию Коши-Римана на - . Проинтегрируем дифференциальное уравнение = 6xy dv = 6xy dx v(x,y) = 3yx2 + h(y), где h(y) - произвольная функция у. Вычислим = 3x2 + h`(y) . Заменим по условию Коши –Римана на : = 3x2 + h`(y), но = (x3– 3xy2+ 1) = 3x2 – 3y2.
Сравнение производных дает h`(y) = – 3y2 или dh = – 3y2dy h(y) = - y3 + C или v(x,y) = 3yx2 – y3 + C .
Ответ. f(z) = (x3–3xy2+ 1) + i(3yx2– y3) + C = (x + iy)3 + 1 + C = z3 + C