- •Министерство образования российской федерации
- •Казанский государственный энергетический университет
- •Элементы теории функций комплексноого переменного
- •Цель работы
- •Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
- •Геометрическая интерпретация кч
- •Тригонометрическая форма кч
- •При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме
- •Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
- •Показательная форма кч
- •Области и линии на комплексной плоскости
- •Ряды с кч
- •Определение функции комплексной переменной
- •Элементарные функции комплексной переменной
- •Производная фкп
- •Конформное отображение
- •Криволинейный интеграл от фкп
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Неопределенный интеграл от фкп
- •Основная теорема интегрального исчисления
- •Интегральная формула Коши
- •Бесконечные ряды
- •Нули функции
- •Ряд Лорана
- •Вычисление интегралов по формуле Коши
- •Теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов
- •Определение порядка полюса
- •Вычисление интегралов
- •Устные экзаменационные вопросы
Бесконечные ряды
Бесконечный ряд из комплексных величинu1(z) + u2(z) +. . .+ un(z) + . . = = наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей этих величин . Суммой ряда наз. предел последовательности частичных сумм Sn =, т.е. S(z) = lim Sn при . Областью сходимости степенного ряда является круг радиусаR с центром в точке z0 : | z – z0 | < R (Теорема Абеля). Радиус сходимости R = =lim приn. Для степенного ряда с отрицательными степенями область сходимости это вся плоскость за исключением круга радиусаr с центром в z0 : |z – z0| > r . Действительно, замена переменных z* = (z – z0)-1 даст переход к ряду с положительными степенями и радиусом сходимости r. Тогда из условия | z*| < r|z – z0 | < 1/r или | z – z0 | > r. Если r < R , то общей областью сходимости рядов двух типов будет кольцо r < | z – z0 | < R . Ряды с отрицательными степенями определяют свойства функции вблизи точки разрыва.
Степени n > 0 Степени n < 0 Степени n > 0 и n < 0
Внутри области сходимости D сумма степенного ряда S(z) является аналитической функцией. Поэтому возможен и обратный переход от f(z) к бесконечному ряду. Совершим его.
Выделим точку z0 в пределах области определения аналитической функции f(z) и представим f(z0) через значения этой функции на некотором контуре L по формуле Коши
f(z0) = ( 39 )
Множитель 1/(z – z0) разложим в ряд по формуле геометрической прогрессии
1/ (1 – q) = qn -1 , |q| < 1
и проверим ряд на абсолютную сходимость. Возможны два варианта.
a)==;
b)==; где . Здесь а фиксированная точка, z0 произвольная точка области D. Ряд (а) абсолютно сходится при | z0 –a| < |z – a|, a ряд (b) при | z0 –a| > |z – a|.
Рассмотрим случай области сходимости в виде круга радиуса R с центром в точке а. В качестве контура интегрирования по переменной z в ( 39 )
возьмем окружность L1 радиуса R1 < R с центром в точке а и точкой z0 в ее пределах. Тогда | z0 – a| < | z – a| и ряд (а) окажется равномерно сходящимся относительно z0 .Заменим в ( 39 ) множитель 1/ (z – z0) на разложение ряда (а) и почленно проинтегрируем с учетом ( 40 )
f(z0) = = ( z0– a)n = = ( z0 – a)n
т.е. значение f(z) в любой точке круга | z – a | < R , где f(z) аналитическая функция, представляется рядом Тейлора
f(z) = f(a) + (z – a) + (z – a)2 + (z – a)3 + . . . ( 41 )
Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням (z – i) функцию f(z) = z5 .
Решение. f(z) = z5 , f(i) = i f ```(z) = 60 z2 , f ```(i) = - 60
f `(z) = 5 z4 , f `(i) = 5 f(4)(z) = 120z , f(4)(i) = 120i
f ``(z) = 20 z3, f ``(i) =-20 i f(5)(z) = 120 , f(5)(i) = 120
f(6)(z) = 0
f(z) = i + 5(z – i) - 10i(z – i)2 - 10(z – i)3 + 5i(z – i)4 + (z – i)5
Рядом Тейлора функции f(z) = z5 по (z – i) является многочлен 5 степени.
Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – (1 - ) функциюf(z) = ch(1 – z) . Пусть а (1 - ) .
Решение. f (z) = ch(1 – z) f(a) = ch() =cos() = 0
f `(z) = - sh(1 – z) f `(a) = - sh() = -i sin() = –i
f ``(z) = ch(1 – z) f ``(a) = 0
f ```(z) = - sh(1 – z) f ```(a) = – i
Остаются только нечетные степени разложения с общим множителем – i
f(z) = – i [ (z – 1 + ) + (z – 1 + )3 + (z – 1 + )5 + . . . ]