Лабораторная работа № 13 определение главных напряжений при плоском напряженном состоянии

Цель работы:

Экспериментальная проверка расчетных формул для определения величины, и направления главных напряжений при плоском напряженном состоянии от совместного действия изгиба и кручения.

Общие сведения

Т онкий и достаточно длинный цилиндр защемлен одним концом и нагружен на свободном крае силой Р и скручивающей парой m (рис. 1).

По граням элемента 1-2-3-4, вырезанного в окрестности точки C плоскостями, проходящими через ось цилиндра, и плоскостями, нормальными к ней, действуют касательные и нормальные напряжения.

Касательные напряжения определяются по формуле

где M_k  крутящий момент, в данном случае, равен скручивающему моменту m;  полярный момент сопротивления сечения цилиндра, причем =d/D, D и d  наружный и внутренний диаметры цилиндра.

Нормальные напряжения в точке C, принадлежащие крайнему верхнему волокну II, будут равны:

где  изгибающий момент в сечении на расстоянии l_C от свободного края цилиндра;

W  осевой момент сопротивления.

Для кольцевого сечения он равен

Элемент 1-2-3-4, вырезанный вокруг точки C, показан на рис. 2.

Величина главных напряжений ₁ и ₃ в этом случае определяется по формуле

Направление максимального главного напряжения находится из следующего выражения

где ₀  угол, отсчитываемый от направления  до направления ₁. Положительный угол ₀ отсчитывается против часовой стрелки. Напряжения, входящие в формулы (4) и (5), берутся по абсолютной величине.

Экспериментальное исследование напряженного состояния в точке C

Для экспериментально исследования напряженного состояния в стенках цилиндра, используем веерную розетку из трех тензорезисторов показанную на рис.3 (вид сверху).

В случае совместного действия силы P и скручивающего момента m на конце консоли (рис. 1) направление главных напряжений неизвестно и может быть определено по относительным деформациям _u, _x, _v в направлениях u, x, v (рис.4).

Направление минимального главного напряжения ₃ в нашем случае определится по формуле

Можно установить, что направление максимального главного напряжения ₁ определится по формуле:

где ₀  отсчитывается от направления u; ₀  отсчитывается от направленияx (рис. 4).

Относительные продольные деформации в направлении действия главных напряжений находятся по формуле:

Относительные деформации в направлении датчиков u, x и v, входящие в формулы (6) и (7), определим по показаниям прибора

, ,

Здесь n_u, n_x, n_v  приращения показаний прибора на ступень нагрузки; K_цена деления прибора в относительных деформациях.

Главные напряжения определяются выражениями

где , E  коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала цилиндра, соответственно.

Порядок выполнения работы

Работа выполняется на установке CM 18A (рис. 5).

На тонкостенный цилиндр 1, изготовленный из дюралюминия, наклеены тензорезисторы в виде веерной розетки. На рис. 3 показан вид сверху на точку А.

1. Снять отсчеты на тензометрической установке для датчиков v, x, u (каналы соответственно 1, 2, 3) при отсутствии нагрузки на подвесках 3 и 4.

2. Плавно без ударов загрузить подвеску 4 грузом весом P₁, а подвеску 3  грузами весом P₂ по схеме, изображенной на рис. 6.

3. Снять отсчеты на тензоустановке для датчиков 1, 2 и 3.

4. Повторить операцию загружения подвески 4 следующей ступенью нагрузки P₁, а подвески 3 ступенью P₂ и снять отсчеты.

5. Результаты отсчета записать в таблицу наблюдения (см. форму отчета).

6. Разгрузить установку.

7. Вычислить опытные относительные деформации и напряжения по формулам (7), (8), (9) и (10).

В расчетах принять для дюралюминиевого цилиндра модуль Юнга E=71 ГПа и коэффициент Пуассона =0,3.

8. Вычислить теоретические напряжения по формулам (1), (2), (4), учесть, что при такой схеме загружения расчетный крутящий момент на ступень нагружения , а расчетный изгибающий момент .

9. Сопоставить теоретические и опытные напряжения

10. Вычислить теоретическое и опытное значение наклона максимальных главных напряжений по формулам (5), (6), (6) и сопоставитьих.

11. Оформить отчет по прилагаемой форме.