3.3. Модель расчета оптимального объема и периодичности заказа Харриса – Уилсона и ее модификации

3.3.1. Классическая формула оптимального размера заказа (модель eoq)

Оптимизация размера заказа (партии поставки) означает, что необходимо найти такое его количественное значение, которое потребует минимальных затрат на формирование и содержание текущего запаса при заданных условиях. Методика решения данной задачи базируется на том, что различные составляющие общих затрат изменяются разнонаправлено при изменении размера партии поставки и, следовательно существует такой размер заказа (партии закупки), который обеспечивает минимум суммарных (общих) затрат, связанных с формированием и содержанием запаса.

Общие годовые затраты на формирование (закупку и доставку) и содержание (хранение) запаса МР L_год для принятых условий пропорциональны общим затратам за один цикл закупки L_общ, т. е. суммарным затратам на закупку и доставку одной партии МР и хранению его текущего запаса L_год = L_общ * n. Общие затраты на формирование и содержание запаса, приходящиеся на одну партию поставки (закупки), будут складываться из двух основных частей:

L_общ = L_зак + L_хр, (3.1)

где L_зак – затраты на закупку одной партии МР, включая транспортно-заготовительные расходы; L_хр – затраты на содержание (хранение) текущего запаса, включая возможные потери в размере естественной убыли.

Среди составляющих затрат на формирование запаса можно выделить два вида: одна их часть зависит от размера единовременного заказа (партии поставки), а другая не зависит. В связи с этим выделяют условно-постоянные затраты и условно-переменные затраты, из которых складывается стоимость одного заказа. Тогда затраты на формирование запаса можно определить как

L_зак = K + c*Q, (3.2)

где K - условно-постоянные затраты, связанные с закупкой и доставкой одной партии; c - условно-переменные затраты, приходящиеся на единицу МР (включая цену).

Затраты на содержание (хранение) запаса принято считать пропорциональными среднему размеру запаса и времени его хранения на складе фирмы между двумя очередными поставками, т. е.:

L_хр = h * S * T, (3.3)

где h – стоимость содержания единицы запаса в единицу времени (как правило, в сутки); T – интервал между поставками.

Для принятых условий будет справедлива формула T = Q/b, где b – среднесуточный расход (продажа) МР. Следовательно (3.3) можно представить в виде:

L_хр = h * Q/2 * Q / b = h* Q²/2b. (3.4)

Тогда выражение (3.1) с учетом (3.2) и (3.4) примет вид:

L_общ = K + c*Q + h* Q²/2b. (3.5)

Удельные затраты l_общ, т. е. затраты на формирование и содержание запаса единицы МР за один цикл поставки можно получить делением (3.5) на размер заказа (партии поставки) Q:

l_общ = K / Q + c + h* Q /2b. (3.6)

Выражение (3.6) представляет собой функцию от Q, т. е. зависимость удельных затрат на формирование и содержание запаса данного МР от размера заказа, определяющего уровни (максимальный и средний) его текущего запаса или, другими словами, является оценочным показателем возможных стратегий закупочной деятельности. Наименьшие затраты l_общ(Q) будут определять оптимальную стратегию закупки МР в заданных условиях, т. е. минимум общих удельных затрат является критерием оптимальности выбора размера заказа (объема партии поставки) и максимального уровня текущего запаса.

На рис. 3.1 представлена графическая интерпретация выражения (3.6), которая наглядно представляет зависимость общих (суммарных) удельных затрат и их составляющих от изменения размера партии поставки.

Затраты

l_общ

l_min

hQ/2b

c

K/Q

Q^* Q

Рис. 3.1. Зависимость удельных затрат на формирование и содержание запаса от размера партии поставки (закупки)

Удельные транспортно-заготовительные расходы обратно пропор­циональны размеру партии поставки (K/Q) и в графической форме пред­ставляют собой гиперболу. Удельные затраты по содержанию запаса прямо пропорциональны среднему его размеру, который определяется объемом партии поставки (hQ/2b), и характеризуются линейной зави­симостью. Кривая общих удельных затрат (l_общ) представляет собой ре­зультат сложения всех составляющих. Поскольку отдельные составля­ющие общих затрат изменяются разнонаправлено при изменение размера заказа (объема партии поставки), то кривая общих удельных затрат как сумма всех составляющих будет достигать своего мини­мального значения (l_min) в некоторой точке Q*, значение которой и бу­дет определять наилучшую (при заданных условиях — оптимальную) стратегию пополнения запасов (закупок).

Для того чтобы аналитически найти экстремум (минимум или максимум) функции, необходимо взять ее первую производную, приравняв ее к нулю и решить полученное уравнение относительно неизвестного параметра.

В результате получим выражение для определения оптимального размера партии поставки:

Q* = (2K*b/h)^1/2. (3.7)

Выражение (3.7) представляет собой формулу для определения наиболее экономичного размера заказа EOQ, которая является классической (основной) экономико-математической моделью теории запасов.

Эту математическую модель достаточно часто называют формулой Уилсона (в некоторых переводных изданиях Вильсона или Вилсона) по имени ее автора — английского экономиста-математика Р. Уилсона.

В ряде изданий авторство разработки модели (3.7) приписывается Ф. Харрису. Поэтому в отечественной литературе по теории запасов модель (3.7) иногда называют также и «формулой Уилсона — Харриса».

Его фор­мула производственного заказа достаточно близка по своему виду к вы­ражению (3.7), но все же имеет некоторые отличия от модели EOQ. Формула Харриса имеет следующий вид (в обозначениях автора):

Q = (P*S*K /C)^1/2, (3.8)

где P — затраты на подготовку обработки партии деталей (изделий); S— дневной темп (интенсивность) выпуска; С— себестоимость единицы про­дукции; К— постоянная, в которую входят такие слагаемые, как процент на капитал, складские расходы, страховые взносы, налоги и пр.

Из формулы Уилсона и рассмотренных ранее соотношений (3.8) следует, что в заданных условиях среднегодовой размер текущего запаса, соответствующий оптимальным размерам закупаемой партии, равняется

S^* = Q^*/2 = (K*b/2h)^1/2; (3.9)

оптимальное число закупок (поставок) составляет

n^* = B / Q^* =( h*b/2K)^1/2, (3.10)

а оптимальный интервал между поставками будет

T^* = Q^*/b =( 2K/(h*b))^1/2. (3.11)

Достаточно часто модель EOQ представляют в виде, приведенном к заданному плановому периоду (как правило, одному году):

Q^* = (2K*B/H)^1/2, (3.12)

где H — стоимость содержания единицы запаса за плановый период; В — потребность в МР (объем спроса) за тот же самый период.

Соответственно и все остальные параметры модели выбора стратегии управления запасами должны быть приведены к годовой размерности заменой h на H, b на B в формулах (3.9) — (3.11).

При использовании приведенных моделей важно, чтобы все объемные и стоимостные параметры, характеризующие статистический процесс (величина спроса, издержки содержания или хранения), были приведены к одному и тому же периоду времени.

Как правило, затраты на хранение запаса h (или H) определяются пропорционально стоимости или цены запасаемого МР. С учетом этого замечания формула (3.7) примет вид:

Q* = (2K*b/(h*с))^1/2, (3.13)

где h – затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, задаваемые как доля стоимости (цены) запасаемого ресурса (ее часто устанавливают в виде процента); с – заготовительная цена ТМР.

Кроме того, увеличение размера запаса приводит к росту иммобилизации оборотного капитала, что также должно учитываться при определении оптимальных параметров текущего запаса, что особенно актуально в условиях высокой инфляции.

В годовой размерности получаем:

Q^* = (2K*B/(H+ i*c))^1/2, (3.14)

где i – процент на капитал, в качестве которого можно использовать действующую ставку рефинансирования, устанавливаемую ЦБ РФ.

Графическая интерпретация зависимости соотношений логистических годовых затрат L от вариации размера заказа (возможных стратегий) представлена на рис. 3.2.

L/L^*

6,0

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0

^{0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5} Q/ Q^*

Рис. 3.2. Зависимость изменения относительных логистических издержек при отклонении размера заказа от оптимальной величины

Из графика видно, что в окрестности оптимального решения Q^* (т. е. при Q /Q^* = 1,0) кривая соотношения затрат L/L^* имеет достаточно плоскую форму. Другими словами, если действительное значение Q даже достаточно заметно отличается от оптимального Q^*, то относительное увеличение затрат будет весьма незначительным.

Классическая модель управления запасами предполагает соблюде­ние ряда условий:

• величина спроса является постоянной или приблизительно постоянной (b = const). Если коэффициент использования запасов является постоянным, то уровень запасов также будет уменьшаться с постоянным коэффициентом;

• интервал отставания поставки известен и является постоянной величиной (τ = const). Это означает, что заказ можно сделать в точке с определенными значениями временного параметра и размера запаса (уровень повторного заказа), которые обеспечат получение заказа (поступление поставки) в тот момент, когда уровень запасов будет равен нулю;

• отсутствие запасов (дефицит) является недопустимым;

• размер заказа, период заказа и интервал поставки являются постоянными величинами (Q = const, T= const).

Приведенные допущения в значительной степени упрощают модель логистического процесса, т. к. подобные идеальные условия в реальных системах встречаются крайне редко. Поэтому модель EOQ имеет большое теоретическое значение, а ее практическое применение ограничено.

Однако на ее основе построено достаточно много модификаций, которые учитывают те или иные дополнительные условия, и основные из них будут рассмотрены ниже.