2. Перевод чисел из одной системы в другую.

Преобразование чисел в 2-ю систему из систем с основаниями кратными целыми степенями двойне производится представлением каждой отдельной цифры в виде 2-ого числа с соответствующим количеством разрядов. Н-р: 627,53 = 110 010 111, 101 011

Для перевода 16-х чисел цифры представляются 4-х разрядными группами двоичных чисел. Н-р: С7А,4В = 1100 0111 1010, 0100 1011

Обратный перевод чисел из 2-й системы в 8-ю или 16-ю производится разбиением 2-ого числа на группы соответствующего количеству разрядов, отсчитывая их влево и вправо от запятой. Даже каждая группа представляется цифрой соответствующей системой. Н-р: 111001,010101₂ = 71,25₈ = 39,52₁₀ ; 11010101,11000110 = D5,C6₁₆

Перевод из 10-й в 2-ю, 16-ю системы обычно осуществляют раздельно для целой и дробной частей, а затем оба результата объединяют в единое число новой системы счисления. Общее правило для перевода целого числа из одной системы счисления с основанием Д1 в другую с основанием Д2 состоит в следующем: необходимо последовательно делать переводимое число и получаемые частные на основание Д2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания Д2. Деление ведется в той же системе счисления из которой осуществляется перевод чисел.

Н-р: 29 переведем в 2-ю, 8-ю, 16-ю.

29/2=14/2=7/2=3/2=1/2=11101 = 29₁₀

29/8=3 остаток 5 = 35₈ = 29₁₀

29/16=1 остаток 13 =1Д₁₆

Правильную дробь, чтобы перевести из системы счисления с основанием Д1 в Д2 необходимо после довольно умножить исходную дробь и дробную часть получающихся произведений на основание Д2 новой системы счисления.

Н-р: дробь 0,6875 переведем в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы.

0,6875*2=1,3750*2=07500*2=1,5000*2=10000 =01011₂

0,6875*8=55000*8=40000 = 0,54₈

0,6875*16=11000 = 0,В₁₆

При переводе правильных дробей из одной системы в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда поэтому обычно задают необходимое количество разрядов m дробной части в новой системе счисления или абсолютную погрешность результата перевода считая, что абсолютная погрешность числа определяется единицей младшего разряда можно записать соотношение ∆ ≥ d^-m₂ если задана погрешность результата перевода, то соответственное количество разрядов число определяется из выражения: m ≥ log ∆/D/log d₂

Н-р: 10-ю дробь 0,3126 перевести в 2-ю, 0,1 определить необходимое количество разрядов представления числа m=log1/0, 1/logd₂=3,3 округляя полученный результат до большего числа, будем иметь m=4, при переводе можно ограничиться получения 4-х разрядной 2-й дроби. 0,3126*2=0,6252*2=0,2504*2=0,5008*2= 1,0016=0,0101₂

Необходимо сохранить точность n-го разряда дробного числа при переводе его из системы счисления с основанием Д1 в Д2. В этом случае должно выполниться неравенство D₁^-n ≥ D₂^-m из данного соотношения необходимое количество разрядов m для сохранения точности числа в новой системе счисления определяется выражением вида: m ≥ n log D₁/log D₂

При переводе из 2-ой, 8-ой, 16-ой систем в 10-ю основанное на представлении чисел полиномом от основания системы, из которой переводятся числа. При этом вычисления полинома может быть выполнено по схеме Горнера, в которой количество операций умножение сведено к минимуму. Н-р: произвести перевод в рассмотренной схеме 16-ого числа 8B5,38C в 10-ю систему счисления, учитывая веса разрядов 16-ой системы счисления, и запишем:

8B5,38C₁₀ = 8*16²+11*16¹+5*16⁰, 3*16^-1+8*16^-2+12*16^-3 = 8*16+11*16+5+16^-1(3+16^-1(8+16^-1+12))=2229.2216796