3. Представление в разрядных сетках целых и дробных чисел в форме с фиксированной точкой.

Любая информация в цифровых устройствах представляется в виде двоичных кодов, состоящих из определенного фиксированного количества разрядов. Это количество разрядов называется разрядностью или длиной разрядной сетки цифрового устройства. Числа в разрядной сетке могут представляться в форме с фиксированной запятой или в форме с плавающей запятой. В форме с фиксированной запятой в зависимости от ее фиксации числа можно представить в виде целых и дробных. Целые числа используются в случаях представления индексов переменных, подсчета количества повторений каких-либо действий и т.д. Рассмотрим распределение разрядов при представлении целых чисел:

n-1 n-2 … i … 1 0

Знаковый разряды модуля числа с весовыми коэффициентами q=2ⁱ

разряд

если представленное число положительное, то обычно в знаковом разряде устанавливается 0, а если число отрицательное, то 1. Модуль числа в разрядной сетке располагают в младших разрядах, при этом остающиеся свободные старшие разряды заполняются 0.

Н-р: в восьми разрядной сетке положительное целое двоичное число +1100₂ можно представить в виде:

7 6 5 4 3 2 1 0

0

0

0

0

1

1

0

0

Знак числа модуль числа

2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

Значения модулей целых двоичных чисел при представление в n-разрядной сетке недолжны превышать значения

2^n-1-1

Н-р: для разрядных сеток длиной с n=8 n=16, максимальное значение модулей целых чисел соответственно равны

М_макс8=2⁷-1=127₁₀

М_макс16=2¹⁵-1=32767₁₀

Если ограничение на max значение модуля числа не выполняется, то происходит переполнение разрядной сетки и появляется ошибка в представление числа. Форма представления чисел с фиксированной запятой предполагает, что положение запятой определено в разрядной сетке после самого младшего разряда, поэтому

0

0

1

1

0

0

для всех чисел, с которыми оперирует цифровое устройство положение запятой постоянно. Следовательно с значением весовых коэффициентов для одноименных разрядов чисел одинаково. Для представления дробных, запятую или точку обычно фиксируют перед старшем разрядом модуля числа.

n-1 n-2 … i … 1 0

Знак разряды модуля для числа с весовыми

Коэффициентами q = 2^{- ( n – 1 - i)}

Модуль числа в этом случае располагается в старших разрядах сетки в таком представлении, значение модуля числа всегда оказывается меньше 1 и числа представляют собой лишь правильные дроби. Если количество значащих цифр модуля меньше, чем количество обозначенных для записи разрядов в сетке, то оставшиеся младшие разряды заполняются нулями (0). В противоположном случае не поместившиеся в сетку значащие цифры модуля теряются. При этом возникает погрешность представления числа, абсолютное значение которого меньше 1 младшего разряда сетки. ∆_пр < 2^{- ( n – 1 )} Н-р: в 8-ми разрядной сетке записывается отрицательное двоичное число – 0,111100101₂ в форме с плавающей запятой

7 6 5 4 3 2 1 0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

знак 2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 2^-5 2^-6 2^-7 2^-8 2^-9

поскольку в сетке уместилось только 7 значащих старших цифр модуля, то абсолютная погрешность данного числа оценивается частью не уместившейся в разрядную сетку составит: ∆_пр = 0*2^-8+1*2^-9 = 2^-9

Составляя полученное значение со значением 1 младшего разряда сетки видно, что

2^-9 < 2 ^{– ( 8 – 1 )}

Максимальное значение модулей чисел при представлении дробных чисел в форме с фиксированной запятой для n-разрядной сетки составляет: M_max = 1 – 2 ^{– ( n – 1 )}

Используя представление чисел в форме с фиксированной запятой все числа участвующие в вычислениях предварительно превращают в правильные дроби, путем выбора определенных масштабных коэффициентов, масштабный коэффициент K связывает реальное значение числа Z с его представлением Х в разрядной сетке при этом должно выполняться соотношение: ׀Х׀ = К*׀Z׀ < 1

Учитывая, что абсолютная погрешность при представлении чисел не превышает 1 младшего разряда сетки можно записать выражение для величины относительной погрешности λ представление чисел λ = [ 2 ^{– ( n – 1 )} / X]*100%

Из данного выражения следует, что при определенной длине разрядной сетки значение относительной погрешности будет тем больше, чем меньше по абсолютной величине числа, участвующие в вычислениях. В связи с этим погрешности представления чисел в цифровых устройствах для формы с фиксированной запятой во многом зависят от выбора масштабных коэффициентов. Обычно масштабные коэффициенты выбирают кратными целой степени двойки, так как в этом случае в преобразуемом двоичном числе запятая просто перемещается на количество разрядов равному значению степени, причем, если степень положительная, то перемещение идет в сторону младших разрядов, а если отрицательное в сторону старших разрядов. Н-р: положительное двоичное число +11,11₂ необходимо представить в 4-х разрядной сетке в форме с фиксированной запятой, если масштабный коэффициент K=2^-2 то данное число уменьшается в 4 раза и в указанной сетке будет иметь вид:

3 2 1 0

0

1

1

1

1

2^-1 2^-2 2^-3 2^-4

при этом относительная погрешность представлении числа составит λ = [ 2 ^{– ( 4 – 1 )} / ( 1*2^-1+1*2^-2+1*2^-3+1*2^-4)]*100% = 13,3%. Используя масштабный коэффициент K=2^–3 преобразованное число в сетке примет вид:

3 2 1 0

0

0

1

1

1

1

1

знак 2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 2^-5

в этом случае относительная погрешность представления будет существенно больше: λ= [ 2 ^{– ( 4 – 1 )} / (0*2^-1+1*2^-2+ 1*2^-3+1*2^-4+1*2^-5)]*100% = 26,6%

При представлении чисел в форме с фиксированной запятой программист в принципе может принять любое условие положения запятой в пределах разрядной сетки. Но при разработке программы необходимо следить за положением запятой при различных вычислениях, чтобы не возникло переполнение разрядной сетки. Достоинством формы представления чисел с фиксированной запятой является значительное упрощение арифметических и других видов операций, так как одноименные разряды всех хранящихся в цифровых устройствах чисел имеют одинаковые позиции. Рассматриваемая форма используется обычно для специальных цифровых устройств, где круг решаемых задач заранее определен и можно устанавливать возможный диапазон изменения чисел. Это в основном устройства управления различными технологическими процессами, бортовые вычислительные устройства, работающие в режиме реального масштаба времени обработки информации.