8.Логический, циклический и арифметический сдвиги над двоичными кодами чисел.

Сдвиговые операции состоят в одновременном смещении цифр кода на фиксированное количество разрядов влево или вправо. В цифровых вычислительных устройствах обычно используются логический, циклический и арифметический сдвиги. При логическом сдвиге происходит смещение в разрядной сетке всех цифр числового кода, включая и разряд знака. При этом в освободившимся при сдвиге разряда сетки устанавливаются нули, а не уместившиеся в сетке при сдвиге теряются. Количество разрядов на которые сдвигаются исходный набор цифр называют константой сдвига. Н-р: в 8-ми разрядную сетку исходный код 10010111 при логическом сдвиге на два разряда вправо будет иметь вид:

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

Циклический сдвиг отличается от логического тем, что при смещении всей числовой последовательности цифры выходящие за пределы разрядной сетки снова вводятся в освобождающиеся разрядные позиции. Н-р: в 8-ми разрядной сетке исходный код 10101001 при циклическом сдвиге на 2 разряда вправо будет иметь вид:

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

При арифметическом сдвиге производится смещение всей числовой последовательности (вправо или влево) без изменения позиции знака числа. Для положительного и отрицательного чисел представленных в прямом коде при сдвиге влево или вправо освободившиеся разряды сетки заполняются нулями. Для отрицательных чисел представленных в обратном коде, освобождающиеся разряды сетки при сдвиге числа вправо или влево заполняются единицами. Особенностью сдвига отрицательных чисел представления в дополнительном коде является то, что при сдвиге вправо освобождающиеся старшие разряды сетки заполняются единицами, а при сдвиге влево младшие разряды заполняются нулями. Н-р: при сдвиге исходного отрицательного числа представленного в дополнительном коде Х_доп = 11100100 на три разряда вправо и влево соответственно получим: Х_{доп вправо} = 11111100 Х_{доп влево} = 10100000

9. Алгебраическое сложение чисел в форме с фиксированной точкой.

При использовании обратного и дополнительного кодов операция алгебраического сложения сводится к простому арифметическому сложению. В этом случае положительные числа представляются в прямом коде, а отрицательные в обратном или дополнительном кодах. Арифметическое сложение соответствующих кодов производятся, включая и знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды числа.

При использовании обратного кода возникающая единица переноса из знакового разряда циклически прибавляется к младшему разряду суммы кодов. А при использовании дополнительного кода эта единица просто отбрасывается. Например: пусть требуется сложить числа Х=+6₁₀=1100₂ и У=-3₁₀=-011₂.

Представим данные числа в соответствующих кодах:

Х_пр=0110

У_пр=1011; У_обр=1100; У_доп=1101

Операции арифметического сложения данных кодов будут иметь вид:

Х_пр=0110 Х_пр= 0110

+У_обр =1100 +У_доп=1101

10010 10011

1 0011

(Х+У)_пр=0011=+011₂=3₁₀

В обоих случаях получилась одинаковая положительная сумма.

Поскольку при сложении чисел с использованием дополнительного кода возникающая единица переноса из знакового разряда просто отбрасывается, то в вычислительных устройствах представление отрицательных чисел в основном используется дополнительных код.

Если при сложении получено положительное число (0 в знаковом разряде), то оно представлено в прямом коде, а если отрицательное (1), то число представлено в дополнительном коде. Например: сменим знаки у чисел, используемых в предыдущем примере: Х= -6₁₀= -110₂ и У= +3₁₀= +011₂. Соответствующие коды указываемых слагаемых будут иметь вид: Х_доп= 1010 и У_пр= 0011. При арифметическом сложении получаем:

Х_доп= 1010

⁺У_пр= 0011

(Х+У)_доп= 1101 → (1011)_пр= -011= -3

Таким образом, если результат сложения есть отрицательное число, то оно оказывается представленным в дополнительном коде. Поскольку представления положительных чисел в прямом и дополнительном кодах совпадают, то можно сказать, что при алгебраическом сложении оба слагаемых представляются в дополнительном коде и все числа в вычислительных устройствах хранятся в дополнительном коде.

Иногда при сложении возникает переполнение разрядной сетки. В этом случае результат превышает предельно допустимое положительное или отрицательное значение, умещающееся в данную разрядную сетку. Признаком переполнения является наличие переноса единицы в знаковый разряд при отсутствии переноса из знакового разряда (это положительное переполнение), или наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в ее знаковый разряд (отрицательное переполнение). При положительном переполнении результат операции положительный, а при отрицательном отрицательный, следовательно, переполнение при сложении происходит только в том случае, если значения переносов в знаковый разряд и из знакового разряда различны.

Рассмотрим примеры переполнения при четырех разрядных сетках: Пусть в первом примере складываются положительные числа +5₁₀ и +6₁₀, а во втором отрицательные –6₁₀ и –7₁₀.

Представим указанные числа в дополнительном коде:

+5₁₀= +101₂ → (0101)_доп

+6₁₀= +110₂ → (0110)_доп

-6₁₀= -110₂ → (1110)_пр → (1010)_доп

-7₁₀= - 111₂ → (1111)_пр → (1001)_доп

Операции сложения полученных кодов будут иметь вид:

1 1

(0101)_доп (1010)_доп

⁺(0110)_доп ⁺(1001)_доп

(1011)_доп (10011)_доп

(+5₁₀) + (+6₁₀) = 11 (-6₁₀) + (-7₁₀) = -13₁₀

В первом примере имеется перенос в знаковый разряд суммы и отсутствует перенос из знакового разряда. Во втором примере имеется перенос из знакового разряда при отсутствии переноса в знаковый разряд. Такое сочетание переносов свидетельствует о переполнение сетки, причем в первом случае – положительное, а во втором – отрицательное. Если произвести логический сдвиг результатов на один разряд вправо без отбрасывания младших разрядов, то получим коды чисел, соответствующие правильным результатам сложения:

(01011)_доп → +1011₂ = 11₁₀

(10011)_доп → (11101)_пр → -1101₂ = -13₁₀

Однако данные коды не умещаются для наших примеров в четырех разрядной сетке. Для чисел представленных в форме с фиксированной запятой, положение запятой и знакового разряда в сетке строго фиксировано и одноименные разряды всех хранящихся в цифровых устройствах чисел имеют одинаковые позиции. В связи с этим методика выполнения операции алгебраического сложения, в дополнительном коде включая и признаки переполнения сетки для дробных числе с фиксированной запятой, ни чем не отличается от сложения целых чисел со знаком.

Таким образом, операция алгебраического сложения чисел с фиксированной запятой включает:

1. представление слагаемых в дополнительном коде

2. суммирование кодов слагаемых по правила двоичной арифметики

3. анализ переполнения разрядной сетки.