4.Представление в разрядных сетках чисел в форме с плавающей точкой.

Данная форма позволяет избежать трудоемкого процесса масштабирования исходных чисел и значительно увеличить диапазон и точность их представления. Однако скорость обработки информации и аппаратная реализация вычислительных операций в этом случае значительно ниже и сложнее, чем при представлении чисел с фиксированной запятой.

В общем виде представление числа Х с плавающей запятой основано на полулогарифмической форме определенным выражением: Х=±Аd ^{± p}, где А мантисса числа, d основание системы счисления, p порядок числа d ^{± p} характеристика числа. Н-р: число 128₁₀ = 128*10⁰ = 12,8*10¹ = 1,28*10² = 0,128*10³

0,128₁₀ = 0,128*10⁰ = 1,28*10^-1 = 12,8*10^-2 = 128*10^-3

Положение запятой в мантиссе A определяется величиной порядка p с изменением p в большую или меньшую строну, запятая соответственно перемещается влево или вправо, т.е. плавает в изображении числа. В целях однозначного представления любого числа в разрядной сетке введено понятие нормализованного числа. Нормализованным считается число, модуль мантиссы которого удовлетворяет неравенству: d ^{– 1} ≤ ׀A׀ < 1 в этом случае мантисса представляет собой правильную дробь, при этом первая цифра, стоящая справа от запятой должна быть отличной от 0, такое представление мантиссы позволяет сохранить в разрядной сетке цифрового устройства большое количество значащих цифр, что повышает точность вычислений. Общая структура представления двоичных чисел в форме с плавающей запятой для n-разрядной сетки имеет вид. В рассмотренной сетке n-разрядов отводится для представления нормализованной мантиссы, а t разрядов для представления порядка числа, при этом общее количество разрядов сетки n=h+t. Знак числа совпадает со знаком мантиссы, значение модуля мантиссы представляется в нормализованном виде, т.е. запятая фиксируется перед старшей единицей модуля мантиссы. Порядок представляется целым двоичным числом со знаком дробного числа. Н-р: в 16-ти разрядной сетке выделено для мантиссы и порядка 8 разрядов при указанном распределении разрядов необходимо записать следующие числа: х₁ = - 10110,11₂ = - 0,1011011*2⁵ х_{2 =} + 0,0001100101₂ = + 0,1100101*2^-3

Прежде всего представляемые числа в нормализованной форме в рассматриваемой разрядной сетки получена нормализованные числа будут иметь соответственно вид.

׀________________h=8__________________________׀_________________t=8________________________׀

7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

знак модуль мантиссы знак модуль порядка

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0

Диапазон модулей чисел представляемый в цифровых устройствах в форме с плавающей запятой составляет: 2 ^{– 2( t – 1 )} ≤ ׀X׀ ≤ ( 1*2 ^{– ( h – 1 )}) * 2^{( 2 ( t – 1 ) – 1 )}. В случае представления чисел в форме с плавающей точкой мах значение относительной погрешности определяется выражением: λ_мах = 2 ^{– ( h – 1)} * 2^{( t – 1 )} = 2 ^{– ( h – 2)} = 4*2 ^{– h}

где 2^-1*2^{( t – 1 )} - числитель абсолютная погрешность представляемого числа, а знаменатель минимальное абсолютное значение числа при минимальной нормализованной мантиссе т.о. точность представления чисел с плавающей запятой зависит от количества разрядов мантиссы, а диапазон представляемых чисел от количества разрядов порядка числа. В цифровых вычислительных устройствах различного назначения соотношение между количеством разрядов порядка и мантиссы в разрядной сетке может отличаться, связи с этим диапазон модулей и погрешности представления чисел имеют различные значения. Обычно нормализация, как при вводе чисел, так и в процессе вычислений осуществляется автоматически, если Н-р: в мантиссе обнаружились только 0 в старших разрядах, то мантисса сдвигается влево на необходимое количество разрядов, и производится соответствующее уменьшение порядка числа (нормализация влево). Если происходит переполнение разрядной сетки мантиссы, то производится сдвиг вправо соответствующим увеличением порядка числа (нормализация вправо).