20.Многогранники і тіла обертання. Многогранники: основні поняття і факти, основні види многогранників. Тіла і поверхні обертання: основні поняття і факти, основні види.

Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.Гранями многогранника називаютьсячастиниплощин (многокутники), якіобмежуютьмногогранник.Ребрами многогранника називаютьсяспільністоронисуміжних граней (многокутників).Вершинами многогранника називаютьсявершинимногограннихкутів, утворенихйого гранями, щосходяться в однійточці.Діагоналлю многогранника називаєтьсявідрізокпрямої, яка сполучаєдвівершини многогранника, що не лежать в однійграні.Діагональноюплощиною многогранника називаєтьсяплощина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в однійграні.Перерізом многогранника площиноюназиваєтьсячастинацієїплощини, яка обмеженалінієюперетинуповерхні многогранника з цієюплощиною.

Многогранник називається опуклим, якщовінцілкомлежить по одну сторону відплощинибудь-якоїйогограні. Гранями опуклого многогранника можуть бути тількиопуклімногокутники.

Призма – многогранник, дві паралельні грані (основи) якого рівні n - кутники, а інші n граней (бічні грані) – паралелограми.

Піраміда – многогранник, одна грань (основа) якого n - кутник, а інші n граней (бічні грані) – трикутники, що мають спільну вершину. Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди, називаєтьсяправильною. Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.

Циліндр-тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Твірною циліндра називаються відрізки, що сполучають точки кіл кругів. Радіус циліндра-радіус його основи. Осьовий переріз циліндра-переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь. Площина, паралельна площині основи циліндра=колу основи. Призма називається вписаною у циліндр, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра. Описаною навколо циліндра називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра.

Конус-тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Висота конуса-перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. Конус називається прямим, якщо пряма, що сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Осьовим перерізом конуса назив. переріз, який проходить через вісь конуса. Дотичною площиною до конуса назив. площина, яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну. Піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною — вершина конуса. піраміда, в основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.

Куля-тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.Радіус кулі-відрізок, що сполучає центр кулі з будь-якою точкою її поверхні. Переріз кулі її діаметральною площиною називають великим кругом. екватором кулі назив. коло одного з великих кругів. Якщо відстань до площини набагато більша ніж радіус кулі, то якою є вони не дотикаються, Якщо радіус менший за відстань від площини, то…вони перетинаються в двох точках

Конус є вписаним у циліндр, коли… (основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса — центр верхньоїосновициліндра.Осіциліндра і конуса в цьомувипадкузбігаються).

Циліндр, вписанийуконус … (якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи).

Призмою, вписаною в циліндрназивається (така призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра. Отже, висоти призми й циліндра збігаються, а основи призми є вписаними многокутниками для основ циліндра).

Циліндр, вписаний у кулюОснови циліндра є рівновіддаленими від центра кулі. Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. У перерізі тіла такою площиною дістанемо прямокутник і описане навколо нього коло Прямокутник ABCD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло — велике коло даної кулі. Отже, діагональ AC є діаметром описаної кулі.

Циліндр, описаний навколо кулі.Площина, проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла. У цьому випадку висота циліндра дорівнює діаметру кулі. В осьовому перерізі цього тіла отримаємо прямокутник, у який вписане коло. Але із цього випливає, що осьовий переріз даного циліндра — квадрат. Отже, діаметр циліндра дорівнює діаметру кулі.

Конус, вписаний у кулю.Вершина конуса лежить на сфері. Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло.

Трикутник рівнобедрений. Бічні сторони — твірні конуса, коло — велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

Куля, вписана в конус.Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії. Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло. Трикутник — це осьовий переріз конуса, тобто   — твірні конуса, AB — діаметр основи конуса, а коло — велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в  .

Інші комбінації геометричних тіл

Конус є вписаним у циліндр , коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса — центр верхньої основи циліндра. Осі циліндра і конуса в цьому випадку збігаються.

Циліндр, вписаний у конус , якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи.

21.Об’єми та площі поверхонь. Об’єми основних видів многогранників і тіл обертання. Поняття про об’єм тіла, основні властивості об’ємів. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Повнаплощаповерхні циліндра		r та h — радіус та висотавідповідно.
Площабічноїповерхні циліндра	2πrh	r та h — радіустависотавідповідно.
Повнаплоща конуса		r та l — радіус та висотабічноїповерхнівідповідно.
Площабічноїповерхні конуса	πrl	r та l — радіустависотабічноїповерхнівідповідно.
Площаповерхні сфери (кулі)	або	r та d радіус та діаметрвідповідно.

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи та висоти.

Об’єм циліндра  дорівнює добутку площі його основи та висоти.

Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.

Об’єм кулі: , де R — радіус кулі.

Об’єм кульового сегмента: , де H — висота кульового сегмента, R — радіус кулі.

Об’єм кульового сектора: