6. Показникова і логарифмічна функції в старшій школі

Показникова: Раніше пок. ф-я вводилася відповідно до підходу з використанням степеневої ф-ї або узагальненого поняття степеня. В діючих програмах та підручниках як мотивація введення розглядаються задачі прикладного характеру (розмноження бактерій, розростання дерева), на основі яких виділяється певний тип залежностей між змінними і вводиться відповідне означення показ. ф-ї. Далі будуються графіки ф-й наприклад: y=2^x, y=(1/2)^x, за якими виділяються властивості пок. ф-ї і залежність поведінки графіка від основи цієї ф-ї. Всі ці властивості обґрунтовуються і вся одержана інформація використовується в розвязанні показ. р-нь і нерівностей, а також для введення логар. ф-ї, як оберненої до даної.

Логарифмічна: Лог. ф-я вводиться як ф-я,обернена до показникової. Існує 2 підходи щодо введення матеріалу про лог. ф-ю: 1) спочатку вводиться лог.ф-я, потім розглядається поняття логарифма числа і властивості логарифмів 2)спочатку вводиться поняття логарифма, властивості логарифмів, а потім лог. ф-я, обернена до показ. Інформацію про лог. та показ. ф-ю доцільно подати у табличній формі як порівняння, а також розглянути відповідні співвідношення для цих ф-й . Обов’язково треба звернути увагу на 2 таких записи a^x=b log_ab=x, учні повинні бачити, що вони означають одне й те саме. Робота з графіками лог. ф-ї має проводитися у тісному взаємозв’язку з графіками пок. ф-ї. У зв’язку з вивченням лог. ф-ї достатню увагу треба приділити засвоєнню логарифмічних тотожностей і їх застосуванню до обчислення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних виразів, розв’язання лог. рівнянь, нерівностей і їх систем.

7. Числа та обчислення у профільній школі

У профільній школі починається вивчення складних функцій, зокрема тригонометричні, логарифмічні, показникові, степеневі функції. При їхньому вивченні виникають трансцендентні числа, що є особливістю обчислення у профільній школі. Слід звертати увагу учнів на своєрідність (періодичність) розвязків тригонометричних рівнянь, при розвязуванні яких обчислення відбувається додаванням певного кута одиничного кола. Прикладом чисел притаманних профільній школі є Log₄3, дробові степені чисел, інколи комплексні числа.

8. Рівняння, нерівності та їх системи у старшій школі

Змістова лінія РНС в ст. школі відіграє особливу роль, тому що цей матеріал вивчається у нерозривному зв’язку з відповідними функціями. Загалом на вивчення даної змістової лінії програма відводить небагато часу. Тут поняття рівняння вже трактується по-іншому: перехід від невідомого як числа до невідомого як функції. Вивчення р-нь і нер-й у ст. школі має ряд особливостей. Базою для їх розв’язання є вміння і навички, здобуті в осн. школі(цілі і дроб.рац.р-ння). На вивчення РНС у ст. школі значно впливає якість знань учнів щодо властивостей відповідних функцій. Осн.етапи вивчення лінії:в 10кл: тригонометричні Р і Н, ірраціональні Р(іноді Н), логарифмічні Р і Н, показникові Р і Н, в 11кл – диф.рів-ня.

Триг.р-ня починають розвязувати з найпростіших триг. рівнянь виду sinx=a, cosx=a, tgx=a. відразу ж слід показати учням як записється множина їх розвязків sinx=a, x=(-1)ⁿarcsina+πn при │a│<=1, cosx=a, x=+-arccosa+2πn при│a│<=1. tgx=a, x=arctga+πn, aєR. Розв’язання найпростіших тригон р-нь обов’язково треба супроводжувати зображенням коренів на числових колах і графіках ф-й. Коли учні зрозуміють як розв’язувати такі рівняння слід їх поступово ускладнювати, розглядаючи р-ння виду T(kx+φ)=a де T-кос,сін, тан чи кот, а потім р-ння виду aT²+bT+c=0. такі р-ння розв’язуються різними способами з використанням різних триг. формул.

Пок-ві і лог.р-ня: це р-ня, в яких змінні міститься відповідно в показнику чи під знаком логарифма. До основних способів роз-ня пок. р-нь належать зведення обох частин до спільної основи, зведення до спільного показника, заміни, зведення до квадр. р-ння. При роз-ні пок. нерівностей викор. властивість монотонності пок. ф-ї. Методи роз-ня лог. р-нь: потенціювання, логарифмування обох частин. Р-ня даного типу зводяться до розв’язання р-нь виду log_ax=b. Існують також показникові-логарифмічні (змінна і там і там) р-ня, найчастіше їх розвязують логарифмуванням обох частин р-ня, або зведенням до спільної основи. При роз-ні лог. нерівності при а>1 більшому лог. відпов. більше значення ф-ї, при а<1 більшому-менше.

Іррац. р-ня - змінна міститься під знаком кореня. Методи їх роз-ня:піднесення до квадрата, заміна