14.Взаємне розміщенняпрямих і площинупросторі: паралельність.

Однією з головнихособливостейвикладаннястереометрії повинно бути широкезастосуваннягеометричнихобразів, їх моделей і зображень. Учніповиннінавчитися перш за все “бачити” розміщенняпрямих і площин, відповідні кути і відстані, а вжепотімвмітиобґрунтуватисвоїпросторовіуявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та іншітвердження. Післявведенняаксіом та наслідків з них обов’язковоознайомитиучнів з технікоювиконаннянайпростішихстереометричнихкреслень та побудовоюперерізів. При розглядівзаємногорозташуванняпрямих у просторідоцільно довести теореми про транзитивністьпаралельностіпрямих у просторі, про рівністьдвохкутівізспівнапрямленими сторонами, датиучнямуявлення про напрямупросторі, про кути міжмимобіжнимипрямими. Корисним буде розв’язування задач на побудову у просторі: проведення через точку прямої, паралельної до даної, прямої, щоперетинаєданупідзаданим кутом, прямої, мимобіжної до даної, проведення через точку прямої, паралельної до даноїплощини і площини, паралельноїданійпрямій. Доцільнообговорити з учнями число розв’язків задач на побудову.Післятеореми про відрізкипаралельнихпрямих, щомістятьсяміждвомапаралельнимиплощинамислідрозглянутипросторову теорему Фалеса. Щостосуєтьсявідстаней у просторі, то, окрімвідстанейміжрізнимигеометричнимиоб’єктами (точки, прямі, площини, фігури, мимобіжніпрямі), слідрозглянутигеометричнімісцяточок простору, пов’язані з відстанями, способизнаходженнявідстанейміжфігурами у просторі. 

Формуванняпросторовихуявленьучнів є головнимзавданнямданої теми. Тому важливемісце треба відвестиїхнавчаннюзображатипросторовіфігури на площині, а такожвиконуватипобудови на зображеннях. Перш за все мається на увазіпобудоварізнихелементівфігур (медіан, середніхліній та ін.), точокперетинупрямої і площини, двохплощин. Крім того, достатнюувагу треба звернути на побудовуперерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовноцітілаповинніз’явитисяякомогараніше, тому що на них зручноілюструватиусіпоняття і твердження. 

15. Задачі на побудову в стереометрії.

Всівиди призм і пірамідслідзображувати так, щобнайбільшукількість граней і ребер було видно, а ребра не збігалися. До того ж слідрекомендуватиучнямпочинативиконуватизображення призм з верхньоїоснови, оскількивсісторониверхньоїоснови видно, а ребра зручнішепроводитизверху вниз. Виконуватизображенняпірамідизручно в такійпослідовності: 1) на площинізображуютьдеякиймногокутник; 2) поза площиноюмногокутникаобираютьдовільну точку S, і з’єднуютьїї з вершинами основи, суцільнимивідрізкамиті,які видно і штрихованими – ті,які не видно. При побудовімногогранників, в основіяких лежать правильнімногокутники, треба дотримуватися правил-орієнтирівїхзображення. Учнямпотрібноознайомити з методами побудовиперерізівтіл. Мається на увазі метод внутрішньогопроектування і метод слідів при паралельному і центральному проектуванні. Розв’язування задач на побудовуперерізівзводиться до знаходженняточокперерізусічноїплощини з ребрами многогранника. Під час побудовиперерізівпірамідзручноскористатисяцентральнимпроектуванням. Суть методу слідів: Якщоплощинаграні многогранника і площинаперерізумаютьдвіспільні точки, то вони перетинаються по прямій, щопроходить через ці точки.Цюпрямуназиваютьлінієюперетинуданихплощин.Площинаперерізу многогранника маєспільніпрямі з площинами граней многогранника. Пряму, по якійплощинаперерізуперетинаєплощину будь-якоїгранімногогранника,називаютьслідомплощиниперерізу. Слідівстільки, скількиплощин граней перетинаються з площиноюперерізу.Під час побудовиперерізувартопам’ятати:

– через дві точки, що належать площині, проходить тількиодна пряма, і ця пряма тежналежитьційплощині;

– щобпобудуватилініюперетинудвохплощин, необхідновідшукатидві точки, які належать обомплощинам, і через них провести лініюперетину;

– при побудовіперерізівмногогранниківсічноюплощиноютребавідшукативідрізки, по якихсічнаплощинаперетинається з гранями многогранника.

Метод внутрішньогопроектування. Маєдеякіпереваги перед методом слідів, особливо коли, слідсічноїплощинизнаходяться далеко за межами малюнка.

16. Взаємнерозміщенняпрямих і площинупросторі: перпендикулярність.

Зміст навчального матеріалу можна умовно розділити на три блоки: 1)перпендикулярність прямих у просторі; 2)перпендикулярність прямої і площини; 3)перпендикулярність площин. Спочатку вводиться означення перпендикулярності відповідних об′єктів, потім формулюється і доводиться ознака їх перпендикулярності. Для прямої та площини розглядається задача на побудову перпендикулярних прямої і площини, доводяться єдиність такої площини та властивість перпендикулярної прямої і площини. Особливе місце і роль у цій темі належать навчальному матеріалу, що стосується перпендикуляра і похилої до площини та теореми про три перпендикуляри. Остання застосовується при розв'язуванні задач, пов'язаних з багатогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї теореми часто користуються при розв′язуванні задач.

У зв'язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі треба повторити відповідний матеріал з планіметрії і стереометрії. У навчальній і методичній літературі відомі два види означень перпендикулярних прямих у просторі:1)дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом; 2) дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90°.

Друге означення охоплює і прямі, які не перетинаються, зокрема мимобіжні прямі. Відповідно до цього прийнято і два види означень перпендикулярних прямої і площини:1)пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину; 2)пряма і площина називаються перпендикулярними, якщо пряма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині. Перевага першого означення для прямої і площини полягає в тому, що включення умови їх перетину в означення позбавляє необхідності спеціально доводити цей факт. Друге означення Можна ввести в класах з поглибленим вивченням математики, доповнивши його умовою перетину прямої і площини (умова проходження прямої площини через точку перетину прямої і площини тут не вимагається). Таке означення полегшить доведення деяких теорем і розв'язування задач, зокрема теореми про три перпендикуляри. Щодо означення перпендикулярних площин, то в учнів, за аналогією з означенням перпендикулярних прямих, виникає бажання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом.