12.3. Процентный риск облигации. Дюрация и выпуклость

Процентный риск - это риск для прибыли возникающий из-за неблагоприятных колебаний процентной ставки, которые приводят к повышению затрат на выплату процентов или снижению дохода от вложений и поступлений от предоставленных кредитов.

Фирма, идущая на поглощение другой фирмы, через некоторое время окажется в зоне процентного риска, если это приобретение финансируется за счет заемных средств, а не путем выпуска акций.

Банки и другие финансовые учреждения, которые обладают значительными средствами, приносящими процентный доход, обычно в большей мере подвержены процентному риску. Если фирма взяла значительные кредиты, то неэффективное управление процентными рисками может привести фирму на грань банкротства.

Изменения процентных ставок влекут за собой несколько разновидностей риска.

• Риск увеличения расходов по уплате процентов или снижения дохода от инвестиций до уровня ниже ожидаемого из-за колебаний общего уровня процентных ставок.

• Риск, связанный с таким изменением процентных ставок после принятия решения о взятии кредита, которое не обеспечивает наиболее низких расходов по уплате процентов.

• Риск принятия такого решения о предоставлении кредита или осуществлении вложений, которое в результате не приведет к получению наибольшего дохода из-за изменений процентных ставок, произошедших после принятия решения.

• Риск того, что сумма расходов по уплате процентов по кредиту, взятому под фиксированный процент, окажется более высокой, чем в случае кредита под плавающий процент, или наоборот. Чем больше подвижность ставки (регулярность ее изменений, их характер и размеры), тем больше процентный риск.

Риск для заемщика имеет двойственную природу. Получая заем по фиксированной ставке, он подвергается риску из-за падения ставок, а в случае займа по свободно колеблющейся ставке он подвергается риску из-за их увеличения. Риск можно снизить, если предугадать, в каком направлении станут изменяться процентные ставки в течение срока займа, но это сделать достаточно сложно. Риск для кредитора - это зеркальное отображение риска для заемщика. Чтобы получить максимальную прибыль, банк должен предоставлять кредиты по фиксированной ставке, когда ожидается падение процентных ставок, и по плавающей ставке, когда ожидается их повышение. Инвестор может помещать средства на краткосрочные депозиты или депозиты с колеблющейся процентной ставкой и получать процентный доход. Инвестор должен предпочесть фиксированную процентную ставку, когда предполагается падение процентных ставок, и колеблющуюся, когда ожидается их рост. Изменение процентных ставок в зависимости от срока займа можно выразить с помощью кривой процентного дохода. Нормальной кривой процентного дохода считается восходящая кривая. Она означает, что процентные ставки для долгосрочных займов обычно выше, чем для краткосрочных, и тем самым компенсируют кредиторам связанность их средств на более длительный срок и более высокий кредитный риск в случае долгосрочных займов. Точка зрения банка на процентный риск отличается от точки зрения его корпоративных клиентов. Процентный риск для финансовых учреждений бывает базовым и риском временного разрыва.

Базовый риск связан с изменениями в структуре процентных ставок. Базовый риск возникает, когда средства берутся по одной процентной ставке, а ссужаются или инвестируются по другой. Риск временного разрыва возникает, когда займы получают или предоставляют по одной и той же базовой ставке, но с некоторым временным разрывом в датах их пересмотра по взятым и предоставленным кредитам. Риск возникает в связи с выбором времени пересмотра процентных ставок, поскольку они могут измениться в промежутке между моментами пересмотра.

Прежде чем переходить к показателям дюрации и выпуклости облигации, рассмотрим пять основных теорем, относящихся к оценке облигаций:

1. Если рыночный курс облигации увеличивается, то доходность к погашению должна падать; и наоборот, если рыночный курс облигации падает, то доходность к погашению должна расти.

Пример. На рынке присутствует облигация А со сроком обращения 5 лет и номинальной стоимостью 1000 долл. Купонные выплаты по облигации составляют 80 долл. ежегодно. Её доходность равна 8%, т.к. в настоящий момент она продается по 1000 долл. Однако если ее курс увеличится до 1100 долл., то доходность упадет до 5,65%. Наоборот, если курс упадет до 900 долл., то доходность возрастет до 10,68%.

2. Если доходность облигации не меняется в течение срока ее обращения, то величины дисконта и премии будут уменьшаться при уменьшении срока до погашения.

Пример. На рынке присутствует облигация В со сроком погашения 5 лет и номинальной стоимостью 1000 долл., купонные выплаты по которой составляют 60 долл. ежегодно, а текущий рыночный курс составляет 883,31 долл. Следовательно доходность облигации составляет 9%. Через год при условии, что ее доходность все еще равна 9%, облигация будет продаваться 902,81 долл. Таким образом, дисконт облигации снизился с 116,69 долл. (1000 – 883,31) до 97,19 долл. (1000 – 902,81).

Из этой теоремы можно также сделать вывод, что если две облигации имеют одну и ту же купонную ставку, номинал и доходность, то та, у которой меньше срок до погашения будет продаваться с меньшим дисконтом.

3. Если доходность облигации не меняется в течение срока ее обращения, то величины дисконта или премии будут уменьшаться тем быстрее, чем быстрее уменьшается срок до погашения.

Пример. Рассмотри опять облигацию В. Если она все еще имеет доходность 9%, то через два года будет продаваться за 924, 06 долл. Таким образом, ее дисконт снизится до 75,94 долл. Изменение дисконта при уменьшении срока обращения на 1 год (с 5 до 4 года) составило 19,5 долл. или 1,95% от номинала. Однако при уменьшении срока обращения облигации с 4 до 3 лет больше, и в абсолютном выражении оно составило 21,25 долл., а в относительном – 2,125%.

4. Уменьшение доходности облигации приведет к росту ее курса на величину большую, чем соответствующее падение курса при увеличении доходности на ту же величину.

Пример. Рассмотрим облигацию С со сроком обращения 5 лет и купонной ставкой 7%. Поскольку в настоящий момент она продается по номиналу 1000 долл., то ее доходность равна 7%. Если ее доходность увеличится до 8%, то она будет продаваться по цене 960,07 долл., а уменьшение курса составит 39,93 долл. Если же доходность уменьшится до 6%, то она будет продаваться по 1042,12 долл. Увеличение курса составит 42,12 долл., что больше, чем 39,93 при росте доходности на 1%.

5. Относительное изменение курса облигации в результате изменения доходности будет тем меньше, чем выше купонная ставка. (Данная теорема не относится к облигациям со сроком погашения 1 год, а также к бессрочным бумагам, известным как консоли).

Пример. Сравним облигации Д и С. Облигация Д имеет купонную ставку 9%, что на два процента выше, чем у облигации С. Но облигация Д имеет тот же срок обращения (5 лет) и такую же доходность (7%). Таким образом, текущий курс облигации Д равен 1082 долл. Если доходность обеих облигаций увеличится на 1%, то их курсы упадут до 960, 07 и 1039,93 соответственно. Это означает, что курс облигации С упал на 3,99%, а облигации Д на 3,889%. Т.к. облигация имеет более высокую купонную ставку, то относительное изменение ее курса меньше.

Теперь вернемся к процентному риску облигации. Как его оценить?

На данный вопрос ответил Фредерик Маколей, разработавший в 1938 году концепцию дюрации.

Дюрация есть мера средней зрелости потока платежей, связанных с облигацией. Иными словами, дюрация – это взвешенное среднее сроков времени до наступления остающихся платежей.

Дюрация представляет собой некоторую меру процентного риска облигации, а выпуклость облигации дает оценку того, насколько хорошо дюрация измеряет процентный риск облигации.

Рассмотрим облигацию, по которой через лет должны выплачиваться денежные суммы соответственно.

Предположим, что внутренняя доходность данной облигации при начислении процентов m раз в год равна r.

В этом случае Дюрация Маколея определяется по формуле:

[68]

где P(r) – это рыночный курс облигации.

[69]

Свойства дюрации:

1. Дюрация любой облигации не превышает срока ее погашения. Дюрация бескупонной облигации равна сроку до ее погашения.

2. Если облигация не является бескупонной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше дюрация и выпуклость облигации.

3. Если до погашения облигации остается более одного купонного платежа, то, чем больше купонная ставка при неизменной внутренней доходности, тем меньше дюрация.

Пример. Возьмем облигацию со сроком до погашения 3 года. Ежегодно по облигации выплачивается купонный платеж в размере 80 долл. Номинал облигации равен 1000 долл. Доходность к погашению составляет 10%.

Определите дюрацию облигации.

Решение.

Задачи, связанные с нахождением дюрации и выпуклости облигации, удобнее решать с помощью следующей таблицы.

Таблица 6

Расчет дюрации

Время до наступления платежа	Сумма платежа	Приведенная стоимость платежа
1	80	72,73	0,08	0,08
2	80	66,12	0,07	0,14
3	1080	811,42	0,85	2,56
Итого		950,26	1,00	2,78

Дюрация облигации равна 2,78 года.

Но как с помощью дюрации определить процентный риск облигации?

На этот вопрос дает ответ следующее уравнение. Одно из следствий теоремы 5 заключается в том, что облигации, имеющие одинаковые сроки до погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на одно и то же изменение процентной ставки. Однако облигации с одинаковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, можно определить процентной изменение курса облигации при изменении процентных ставок следующим образом:

[70]

где - изменение курса облигации, Р – ее начальный курс, - изменение доходности к погашению облигации, y – исходная доходность к погашению.

Пример. Рассмотрим облигацию, которая продается сейчас за 1000 долл. при доходности 8%. Дюрация облигации составляет 10 лет. Насколько изменится ее цена при увеличении доходности до 9%?

Решение.

Изменение доходности = 9 – 8 = 1%.

В этом случае процентной изменение стоимости облигации составит:

или 9,26%.

Следовательно, рост доходности облигации на 1% приведет к падению ее курса на 9,26% или на 92,6 долл.

Выпуклостью Маколея называют число:

[71]

Пример. Дана 8%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой в течение 5 лет оплачиваются один раз в год купоны.

Определите дюрацию и выпуклость данной облигации.

Решение.

Внутренняя доходность при начислении процентов один раз в год равна 8%. Результаты расчета дюрации и выпуклости облигации представлены в табл. 7.

Таблица 7

Расчет дюрации и выпуклости облигации

Время до наступления платежа	Сумма платежа	Приведенная стоимость платежа
1	80	74,07	0,07	0,07	0,15
2	80	68,59	0,07	0,14	0,41
3	80	63,51	0,06	0,19	0,76
4	80	58,80	0,06	0,24	1,18
5	1080	735,03	0,74	3,68	22,05
		1000,00	1,00	4,31	24,55

Как видно из табл. 7, дюрация облигации составляет 4,31, а выпуклость – 24,55.

Как уже говорилось выше, выпуклость дает оценку того, насколько хорошо дюрация измеряет процентный риск. Кривая доходности имеет выпуклую форму, но если построить зависимость между доходностью и курсом облигации только через дюрацию, то получится прямая линия. Данный недостаток можно исправить, добавив формулу [70] выпуклость. В этом случае формула примет следующий вид:

[72]

Из данной формулы следует, что дюрация действительно можно рассматривать как меру процентного риска, так как она оценивает чувствительность стоимости облигации к изменениям временной структуры процентных ставок.

Концепции дюрации и выпуклости были разработаны в 1938 году. Сейчас игроками фондовой биржи используются такие показатели, как модифицированная выпуклость и дюрация. Однако в их основе лежит дюрация и выпуклость Маколея.

Модифицированная дюрация определяется по формуле:

[73]

Модифицированная выпуклость:

[74]