11.4. Определение стоимости опциона

11.4.1. Простейшая биноминальная модель

Производным финансовым инструментом «европейского типа» называется финансовый инструмент, если существует платежная функция F(z), такая, что в заданный момент времени Т стоимость производного инструмента равна , где - стоимость исходных активов в момент Т.

Платежной функцией производного финансового инструмента «европейского типа» называется функция F(z), удовлетворяющая всем вышеперечисленным условиям.

Платежные функции европейских опционов «колл» и «пут» имеют вид:

[50]

[51]

При оценке стоимости производных финансовых инструментов предположим, что выполняются следующие условия:

• рассматриваемые рынки являются совершенными;

• неограниченно можно кредитовать и брать средства в долг под соответствующие по срокам безрисковые процентные ставки.

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Предположим, что:

цена исходных активов в текущий момент t известна и равна S;

к моменту времени Т цена исходных активов поднимется до величины с вероятностью, равной р, или опускается до величины с вероятностью, равной 1-р, где u и d – некоторые числа, причем u>1 и 0< d<1.

Простейшая модель изменения цены исходного актива может быть представлена в следующем виде (рис. 24).

Рис. 24. Простейшая модель эволюции цены базового актива

Стоимость финансового инструмента «европейского типа», производного от исходных активов с постоянной дивидендной доходностью, равной q, определяется по формуле:

[52]

где [53]

Пример. Текущая цена английского фунта стерлингов равна 1,8 долл. Через 4 месяца она может подняться до 1,82 долл. или снизится до 1,75 долл. Оцените стоимость четырехмесячного европейского опциона «колл» на 1000 фунтов, если безрисковые процентные ставки на 4 мес. в США и Великобритании равны 6 и 4% соответственно, а цена исполнения опциона – 1,81 долл.

Решение

Согласно условию задачи, r = 0,06 и q= 0,04, T-t= 4/12.

Находим вероятность роста:

Следовательно, (1-р)=0,119.

Для европейского опциона «колл» платежная функция будет иметь следующий вид:

В этом случае стоимость опциона будет равна:

долл.

11.4.2. N-этапная биноминальная модель

Рассмотрим финансовый инструмент «европейского типа», производный от активов с постоянной дивидендной доходностью, равной q, дата истечения которого Т. Если F(z) – платежная функция данного финансового инструмента, то в момент времени Т стоимость инструмента равна , где - стоимость исходных активов в момент Т.

Предположим, что стоимость исходных активов на временном промежутку [t,T] определяется n – этапной биноминальной моделью. Это означает, что промежуток [t,T] разбит на n равных частей точками: t, t+h, t+2h, t+3h, …, t+nh=T, где .

Стоимость опциона в условиях n – этапной биноминальной модели определяем по формуле:

[54]

[55]

Рис. 25. Графическое изображение биноминальной модели

Пример. Дан шестимесячный европейский опцион «колл» на бездивидендную акцию с ценой исполнения 100 долл.

Определите стоимость данного опциона в условиях трехэтапной биноминальной модели с параметрами: u= 1,06 и d = 0,95, если текущая цена акции равна 98 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков – 8%.

Решение. В данном случае S=98 долл., X = 100 долл., q = 0, r = 0,08,

T-t = ½,

Биноминальная модель эволюции цены и исходной акции и стоимость опционного контракта представлены на рис. 26.

Рис. 26. Биноминальная модель эволюции цены и исходной акции и стоимость опционного контракта

Таким образом, текущая стоимость европейского опциона «колл» составит 4,87 долл.