11.4.3. Модель Блэка-Шоулза
Ограничения модели:
модель применима только к европейским опционам;
модель применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона.
непрерывно начисляемая ставка без риска и риск базисной обыкновенной акции является постоянными.
Кроме того, модель Блэка-Шоулза предполагает отсутствие налогов и трансакционных издержек.
Формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид:
[56]
[57]
[58]
где
- текущая рыночная цена базового актива;
Е – цена исполнения опциона;
R – непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год;
T – время до истечения, представленное в долях в расчете на год;
- риск базовой
обыкновенной акции, измеренный стандартным
отклонением доходности акции,
представленной как непрерывно начисляемы
процент в расчете на год.
Данная модель применялась тем, кто пытался обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены. Опцион, который продается по более низкой цене, чем полученная по модели Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку; и наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу.
Пример, инвестор рассматривает возможность покупки опциона «колл» со следующими характеристиками:
дата истечения наступает через три месяца;
цена исполнения равна 40 долл.;
Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно 36 долл. и 50%, а ставка без риска равна 5%.
Определите, нужно ли инвестору приобретать данный опционный контракт.
Решение
Согласно условию задачи: = 36, E = 40, T = 0,25, R= 0,05 и = 0,5.
Сначала необходимо
найти значения
и
.
Для определения
значений
и
необходимо использовать специальные
таблицы нормального распределения, с
помощью которых, зная величины
и
можно определить значения
и
.
Пример такой таблицы приведен ниже.
Таблица 5
Величина
для отдельных значений d
d |
|
d |
|
d |
|
-2,95 |
0,0016 |
-2 |
0,0228 |
-1,05 |
0,1469 |
-2,9 |
0,0019 |
-1,95 |
0,0256 |
-1 |
0,1587 |
-2,85 |
0,0022 |
-1,9 |
0,0287 |
-0,95 |
0,1711 |
-2,8 |
0,0026 |
-1,85 |
0,0322 |
-0,9 |
0,1841 |
-2,75 |
0,003 |
-1,8 |
0,0359 |
-0,85 |
0,1977 |
-2,7 |
0,0035 |
-1,75 |
0,0401 |
-0,8 |
0,2119 |
-2,65 |
0,004 |
-1,7 |
0,0446 |
-0,75 |
0,2266 |
-2,6 |
0,0047 |
-1,65 |
0,0495 |
-0,7 |
0,242 |
-2,55 |
0,0054 |
-1,6 |
0,0548 |
-0,65 |
0,2578 |
-2,5 |
0,0062 |
-1,55 |
0,0606 |
-0,6 |
0,2743 |
-2,45 |
0,0071 |
-1,5 |
0,0668 |
-0,55 |
0,2912 |
-2,4 |
0,0082 |
-1,45 |
0,0735 |
-0,5 |
0,3085 |
-2,35 |
0,0094 |
-1,4 |
0,0808 |
-0,45 |
0,3264 |
-2,3 |
0,0107 |
-1,35 |
0,0885 |
-0,4 |
0,3446 |
-2,25 |
0,0122 |
-1,3 |
0,0968 |
-0,35 |
0,3632 |
-2,2 |
0,0139 |
-1,25 |
0,1057 |
-0,3 |
0,3821 |
-2,15 |
0,0158 |
-1,2 |
0,1151 |
-0,25 |
0,4013 |
-2,1 |
0,0179 |
-1,15 |
0,1251 |
-0,2 |
0,4207 |
-2,05 |
0,0202 |
-1,1 |
0,1357 |
-0,15 |
0,4404 |
Из табл. 5 видно, что = 0,4013, а = 0,3085.
Подставив данные значения в формулу [56] получаем:
долл.