- •Isbn 5-8112-1778-1
- •Глава 11. Элементы векторной алгебры
- •§ 5. Векторы....................................................... 39
- •§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства............ 47
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . . 51
- •§ 8. Смешанное произведение векторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
- •9.1. Основные понятия . .. .. .................. . ............... 58
- •10.1. Основные понятия .. ........ . ... . .. . . .. .. . .. . . . .. . . .. . ... 64
- •11 .1. Основные понятия..... . ................ ... .............. 74
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии в простран стве ............. 90
- •12.1. Основные понятия . .... ... ..... . . .. . . . . . .. .. . ............ 90
- •§ 13. Множества. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
- •§ 14. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
- •§ 15. Последовательности................................... ...... . 127
- •§ 16. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.) ....................... . . 136
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции...... . ...... . .... 148
- •§ 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ... 153
- •§ 20. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
- •§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
- •§ 24. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . .. 192
- •27.1. Основные понятия....................................... 218
- •43.1. Основные понятия....................................... 304
- •48.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. . . . . . . . . . .. 344
- •49.1. Основные понятия....................................... 344
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка с постоянными
- •§ 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •§ 52. Системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •52.1. Основные понятия .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •Глава XI. Двойные и тройные интегралы
- •§ 53. Двойной интеграл ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
- •§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
- •54.1. Основные понятия..... ....................... ........... 391
- •§ 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •55.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •§ 56. Криволинейный интеграл Прода. ..... ......... . . . .. . . ... . . .. 407
- •§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода.............................. 420
- •§ 58. Поверхностный интеграл 11 рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
- •58.1. Основные понятия ......... .............................. 427
- •Глава xhi. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
- •59.1. Основные понятия ... . ... .... .. ...... . ................... 438
- •§ 60. Достаточные признаки сходимости
- •62.1. Основные понятия....................................... 457
- •74.1. Основные понятия....................................... 525
- •§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия над матрицами
- •§ 2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§ 3. Невырожденные матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§ 4. Системы линейных уравнений
- •4.1. 'Основные понятия
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3. Решение невырожденных линейных систем.
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§ 6. Скалярное произведение векторов
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •§ 7. ВеКторное произведение векторов
- •§ 8. Смешанное произведение е3екторов '
- •Глава 111. Аналитическая r;еометрия
- •§ 9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •§ 10. Линии на плоскости
- •10.1 .. Основные понятия
- •§ 11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии
- •12.1. Основные понятия
- •Глава V. Введение в анализ
- •§ 13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •§ 14. Функция
- •§ 15. Последовательности
- •§ 16. Предел Функции
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые
- •§ 21. Дифференцирование неявных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 23. Производные высujих порядков
- •§ 24. Дифференциал функции
- •§ 25. Исследование функций при помощи
- •Глава VI. Комплексные числа
- •§ 27. Понятие и гiредст4вления
- •27.1. Основные понятия
- •§ 28. Действия над комi1лексными числами
- •§ 29. Неопределенный интеграл
- •§ 30. Основные методы интегрирования
- •§ 32. Интегрирование тригонометрических
- •§ 33. Интегрирование иррациональных
- •§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся»
- •Глава VIII., определенныи интеграл
- •§3Б. Геометрический и физический смысл
- •§37., Формула. Ньютона-лейбница
- •§ 39. Вычисления определенного интеграла
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •§ 42. Гiриближенное вычисление
- •§ 43. Функции двух переменных
- •43.1. Основные понятия
- •§ 44. Производные и дифференциалы
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль
- •46.1. Основные понятия
- •§ 47. Общие сведения о дифференциальных
- •47.1. Основные понятия
- •§ 48. Дифференциальные уравнения первого
- •48.1. Основные понятия
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших
- •49.1. Основные понятия
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка
- •§ 51. Линейные неоднородные
- •§ 52. Системы tJ.Ифференциальных
- •52.1. Основные понятия
- •§ 53. Двойной интеграл
- •§ 54. Тройной интеграл
- •54.1. Основные понятия
- •§ 55. Криволинейный интеграл I рода
- •55.1. Основные понятия
- •§ 56. Криволинейный интеграл 11 рода
- •56.1. Основные понятия
- •§ 57. Поверхностный интеграл I рода
- •57.1. Основные понятия
- •58.1. Основные понятия
- •Глава XIII. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды
- •59.1. Основные понятия
- •§ 61. Знакочередующиеся
- •Глава XIV. Степенные ряды
- •§ 62. Функциональные ряды
- •62.1. Основные понятия
- •§ 63. Сходимость ctErlEhHbIx рядов
- •§ 64. Разложение функций в ctErlEhHbIe
- •§ 65. Некоторые приложения степенных
- •§ 66. Ряды фурье
- •§ 67. Разложение в ряд фурье
- •Глава XVI. Элементы теории поля
- •§ 69. Основные понятия теории поля
- •§ 72. OrlEpatop гамильтона
- •§ 73. Некоторые свойства основных
- •Глава XVII. Элементы теории функции
- •§ 74. Функции комплексного rlEpemehhOrO
- •74.1. Основные понятия
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости
- •§ 78. Преобра30вание лапласа
- •§ 79. Обратное ГlРеобразование лапласа
4.3. Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
~~l.~~ .~. ~~~~~.~. : : : ~ .~~~~~. ~ .Ь.2.' {
allX! + а12 Х2 + ... + alnXn = b1,
аn l Х l + аn2Х2 + ... + аnnхn = Ьn
или в матричной форме А . Х = В.
Основная матрица А такой системы квадратная . Определитель
этой матрицы
32
называется оnределителе,м, cucrneMbl. Если определитель системы отличен
от нуля, то система назьrnается нев'Ырroteде'Н:н.оiJ..
Найдем решение данной системы уравнений в случае D. ~ О.
Умножив обе части уравнения А . Х = в слева на матрицу А -1,
получим А- 1 . А· Х = A-1 . В. Поскольку А-I . А = Е и Е · Х = х, то
(4.1)
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют ,м,атри'ЧН'
ЫМ сnособо,м, решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
(~:: .. ~:: .......... ~::)
A1n А2n . . , Аnn ·ш то есть
Отсюда следует, что
Х - A 1nb1 + А2n Ь2 + ... + АnnЬn
n- D.
Но All Ь 1 + А21 Ь2 + ... + Аn1 Ьn есть разложение определителя
по элементам первого столбца . Определитель D.l получается из определителя
D. путем замены первого столбца коэффициентов столбцом
из свободных членов .
И ~ так, Хl = D. .
, D." Аналогично: Х2 = tr' где D.2 получен из D. путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; хз = ~" "
-~ ... ,Х n - D. .
2 Конспеп лекциА по высшей математике. ПоЛНЫЙ курс
зз
~ Формулы
(4.2)
называются формуламu Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неиз~
вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено
матричным способом (4.1) либо-по формулам Крамера (4.2) .
{2Хl - Х2 = О,
Прuмер 4.3. Решить систему
Хl + 3Х2 = 7.
1
Q Решение: 6.= 21 -13 1= 7#0, ~ 1=14.
Значит, Хl = + = 1, Х2 = 1/ =2.
4.4.- Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
•
ОдНЙм из наиболее универсальных и эффективных методов решений
линейных алгебраических систем является м,етод Гаусса, состоя- ,
щий в ПОСЛ,едовательном исключении неизвестных .
Пусть дана система уравнений
{
allXl + a12X2 + ... + alnXn = b1 ,
~~l.~~ .~.~~~~~.~.'.'.'. ~ ~2.~~~.~ ~~:
amlxl +ат2 Х 2+ ... +атnхn = Ьт ·
(4.3)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов . На первом
этапе (прямой ход) система приводится к стуnен:ч,атом,у (В частности,
треуголъном,у) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
{
allXl + a12X2 + ... + alkxk + ... + alnXn = b1 ,
а22Х2 + ... + a2k Xk + ... + а2пХn = Ь2 ,
.. . ... . ...... . .... . . . ... .......
akkxk + .. . + aknXn = bk ,
где k ~ n, aii # О, i = Ц. Коэффициенты аи называются главным,и
элементами системы.
На втором этапе (обратныt! ход) идет последовательное определение
неизвестных из этоt! ступенчатой системы .
34
Опишем метод Гаусса подробнее.
Прямой ход.
Будем считать, что элемент all -:р О (если al1 = О, то первым в
системе запишем уравнение, в котором коэффициент при Хl отличен
от нуля) .
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное Хl во всех уравнениях,
кроме первого (используя элементарные преобразования системы).
Для этого умножим обе части первого уравнения на -Qll и
all
сложим почленно со вторым уравнением системы . Затем умножим обе
части первого уравнения на -~ и сложим с третьим уравнением сиall
стемы . Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь _________________a~?, b~l) (i,j = 2,т) - новые значения коэффициентов и правых
частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом a~~) -:р О, исключим
неизвестное Х2 из всех уравнений системы, кроме первого и
второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся
нулевые уравнеfjИЯ, т. е. равенства вида О = О, их отбрасывают.
Если же появится уравнение вида О = bi , а Ь; -:р О , то это свидетельствует
о несовместности системы.
Второй этап (обратны.Й ход) заключается в решении ступенчатой
системы . Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет
бесчисленное множество решений. В последнем уравнении . этой системы
выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные
(Xk+l, . .. , ХН). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее уравнение
системы и выражаем Xk-l через (Xk+l, ... , Хn); затем находим
Xk-2, ... , Xl· Придавая свободным неизвестным (Xk+l, ..• , Хn ) произвольные
значения, получим бесчисленное множество решений системы.
3а.ме'Ч,анuя : 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной,
т. е. k = n, то исходная система имеет единственное решение. Из
последнего уравнения находим Х n , из предпоследнего уравнения Х n -l,
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
(Хn -2' . .. 'Хl).
2. На практике удобнее работать не с системой (4 .3), а с расширенной
ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над
35
ее строками. Удобно, чтобы коэффициент all был равен 1 (уравнения
переставить местами, либо разделить обе части уравнения на al1 i- 1).
Прu.м.ер 4.4. Решить систему методом Гаусса:
{2Х1 - Х2 +3Хз - 5Х4 = 1,
Хl - Х2 - 5хз = 2,
3Хl - 2Х2 '- 2хз - 5Х4 = 3,
7Хl - 5Х2 - 9хз - 10Х4 = 8.
Q Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной
матрицей системы
(~ -1 3 -5 ~) (~ -1 -5 О i) - -1 -5 О -1 3 -5
-2 -2 -5 -2 -2 -5
-5 -9 -10 -5 -9 -10
- (~ -1 .,...5 О ~з) (~ -1 -5 О iз) 1 13 -5 1 13 -5
1 13 -5 -3 О О О
2 26 -10 -6 О О О
исходная система свел ась к ступенчатой:
{ Xl - Х2 - 5хз = 2,
Х2 + 13хз - 5Х4 = -3.
Поэтому общее решение системы: Х2 = 5Х4 -13хз -3; Хl = 5Х4 -8хз -1.
Если положить, например, Хз = О, Х4 = О, то найдем одно из частных
решений этой системы Хl = -1, Х2 = -3, Хз = О, Х4 = о. •
Прu.мер 4.5. Решить систему методом Гаусса:
{
Хl + Х2 + Хз = 3,
2Хl + 3Х2 + 2хз = 7,
3Хl + Х2 + Хз = 5,
5Хl - Х2 - Хз = 3.
Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками
расширенной матрицы системы:
31 )
-4
-12 (~:~~) (~~~:). 0112 0000
36
Полученная матрица соответствует системе
{Хl + Х2 + Хз = 3,
Х2 = 1,
Хз = 1.
Осуществляя; обратный ход, находим Хз = 1, Х2 = 1, Хl = 1.
4.5. Системы линеиных однородных уравнении
Пусть дана система линейных однородных уравнений
{
allXl + a12X2 + ... + alnXn = о,
a~, ~' . + ~'~~. ~ • .+~~~X" :0,
amlXl +ат2 Х 2+··· +атnхn - о.
•
Очевидно, что однородная система всегда совместна (Т (А) = r (А)),
она имеет нулевое (тривиальное) решение Хl = Х2 = .. ; = Хn = о .
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной
матрицы был меньше числа n неизвестных, Т. е. r < n .
о Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно
, r ~ n . Пусть r = n . Тогда один из миноров размера n х n отличен
от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет
~.
единственное решение: Xi = t: = о, ~i = о, ~ f:- о. Значит, других, кра-
ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,
то r < n.
Достаточность.
Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, является
неопределенноЙ . Значит, она имеет бесчисленное множество решений,
т. е . имеет и ненулевые решения. •
Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неиз-
вестными
{
~." ~' ~~ "Х, .+ ~ ~'~.X~ =О:
anlXl + аn2Х2 + ... + аnnхn - о.
37
Теорема 4'.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений
с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно,
чтобы ее определитель ~ был равен нулю, т. е. ~ = О.
а Если система имеет ненулевые решения, то ~ = О. Ибо при ~ i- о
система имеет только единственноС(, нулевое решение. Если же ~ = О,
то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
r < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых)
решений. •
Прu,м,ер 4.6. Решить систему
а Решение: _ (1 -2 А - 2 -3
{
Хl - 2Х2 + 4хз = О,
2Xl - 3Х2 + 5хз = О.
4) . 5 ' т(А) = 2 n = 3.
Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений.
Найдем их
{
Xl - 2Х2 = -4хз,
2Xl - 3Х2 = -5хз.
~l = I =:~: =~ I = 2хз, ~2 = 1; =:~: I = 3Хз, Стало быть, Хl
= 7~ t = 2хз, Х2 = 7~ f = 3Хз - общее решение.
Положив Хз = О, получаем одно частное решение: Хl = О, Х2. = О,
Хз = О. Положив Хз = 1, получаем второе частное решение: Xl = 2,
Х2 = 3, Хз = 1 и т. д. •
ГлаВ.а 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ
Лекции 4-6