- •Isbn 5-8112-1778-1
- •Глава 11. Элементы векторной алгебры
- •§ 5. Векторы....................................................... 39
- •§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства............ 47
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . . 51
- •§ 8. Смешанное произведение векторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
- •9.1. Основные понятия . .. .. .................. . ............... 58
- •10.1. Основные понятия .. ........ . ... . .. . . .. .. . .. . . . .. . . .. . ... 64
- •11 .1. Основные понятия..... . ................ ... .............. 74
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии в простран стве ............. 90
- •12.1. Основные понятия . .... ... ..... . . .. . . . . . .. .. . ............ 90
- •§ 13. Множества. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
- •§ 14. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
- •§ 15. Последовательности................................... ...... . 127
- •§ 16. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.) ....................... . . 136
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции...... . ...... . .... 148
- •§ 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ... 153
- •§ 20. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
- •§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
- •§ 24. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . .. 192
- •27.1. Основные понятия....................................... 218
- •43.1. Основные понятия....................................... 304
- •48.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. . . . . . . . . . .. 344
- •49.1. Основные понятия....................................... 344
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка с постоянными
- •§ 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •§ 52. Системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •52.1. Основные понятия .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •Глава XI. Двойные и тройные интегралы
- •§ 53. Двойной интеграл ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
- •§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
- •54.1. Основные понятия..... ....................... ........... 391
- •§ 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •55.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •§ 56. Криволинейный интеграл Прода. ..... ......... . . . .. . . ... . . .. 407
- •§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода.............................. 420
- •§ 58. Поверхностный интеграл 11 рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
- •58.1. Основные понятия ......... .............................. 427
- •Глава xhi. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
- •59.1. Основные понятия ... . ... .... .. ...... . ................... 438
- •§ 60. Достаточные признаки сходимости
- •62.1. Основные понятия....................................... 457
- •74.1. Основные понятия....................................... 525
- •§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия над матрицами
- •§ 2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§ 3. Невырожденные матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§ 4. Системы линейных уравнений
- •4.1. 'Основные понятия
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3. Решение невырожденных линейных систем.
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§ 6. Скалярное произведение векторов
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •§ 7. ВеКторное произведение векторов
- •§ 8. Смешанное произведение е3екторов '
- •Глава 111. Аналитическая r;еометрия
- •§ 9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •§ 10. Линии на плоскости
- •10.1 .. Основные понятия
- •§ 11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии
- •12.1. Основные понятия
- •Глава V. Введение в анализ
- •§ 13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •§ 14. Функция
- •§ 15. Последовательности
- •§ 16. Предел Функции
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые
- •§ 21. Дифференцирование неявных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 23. Производные высujих порядков
- •§ 24. Дифференциал функции
- •§ 25. Исследование функций при помощи
- •Глава VI. Комплексные числа
- •§ 27. Понятие и гiредст4вления
- •27.1. Основные понятия
- •§ 28. Действия над комi1лексными числами
- •§ 29. Неопределенный интеграл
- •§ 30. Основные методы интегрирования
- •§ 32. Интегрирование тригонометрических
- •§ 33. Интегрирование иррациональных
- •§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся»
- •Глава VIII., определенныи интеграл
- •§3Б. Геометрический и физический смысл
- •§37., Формула. Ньютона-лейбница
- •§ 39. Вычисления определенного интеграла
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •§ 42. Гiриближенное вычисление
- •§ 43. Функции двух переменных
- •43.1. Основные понятия
- •§ 44. Производные и дифференциалы
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль
- •46.1. Основные понятия
- •§ 47. Общие сведения о дифференциальных
- •47.1. Основные понятия
- •§ 48. Дифференциальные уравнения первого
- •48.1. Основные понятия
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших
- •49.1. Основные понятия
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка
- •§ 51. Линейные неоднородные
- •§ 52. Системы tJ.Ифференциальных
- •52.1. Основные понятия
- •§ 53. Двойной интеграл
- •§ 54. Тройной интеграл
- •54.1. Основные понятия
- •§ 55. Криволинейный интеграл I рода
- •55.1. Основные понятия
- •§ 56. Криволинейный интеграл 11 рода
- •56.1. Основные понятия
- •§ 57. Поверхностный интеграл I рода
- •57.1. Основные понятия
- •58.1. Основные понятия
- •Глава XIII. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды
- •59.1. Основные понятия
- •§ 61. Знакочередующиеся
- •Глава XIV. Степенные ряды
- •§ 62. Функциональные ряды
- •62.1. Основные понятия
- •§ 63. Сходимость ctErlEhHbIx рядов
- •§ 64. Разложение функций в ctErlEhHbIe
- •§ 65. Некоторые приложения степенных
- •§ 66. Ряды фурье
- •§ 67. Разложение в ряд фурье
- •Глава XVI. Элементы теории поля
- •§ 69. Основные понятия теории поля
- •§ 72. OrlEpatop гамильтона
- •§ 73. Некоторые свойства основных
- •Глава XVII. Элементы теории функции
- •§ 74. Функции комплексного rlEpemehhOrO
- •74.1. Основные понятия
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости
- •§ 78. Преобра30вание лапласа
- •§ 79. Обратное ГlРеобразование лапласа
§ 72. OrlEpatop гамильтона
72.1. Векторные дифференциальные операции первого
порядка
Основными дифференциальными операциями (действиями) над
скалярным полем И и векторным полем а являются grad И, div а, rot а.
Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются ве'ICторными
оnершцv.я.ми первого nор.яд-к:а (в них участвуют только первые
производные) .
Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора
Гамильтона
Этот символический вектор называют также оператором 'V (читается
«набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации
со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение
» вектора 'V на скаляр И или вектор а производится по обычным
правилам векторной алгебры, а «умножение» символов gx, gy' gz на
величины И, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной
производной от этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции
первого порядка:
1. 'VU = (JLl + JLJ + JLk). и = aUl + дU] + aU k = gradU.
дх ду az дх ду az
2. 'Va = (JLl+JLJ+JLk) ·(P·l+Q.J+R-k) = дР +qQ+aR = div'a.
fu ~ & fu ~ &
l j k
3. "v Х а = ддх дду aдz = rot а.
Р Q R
Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций
и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним
518
надо пользоваться правилам и векторной алгебры и правилами дифференцирования.
В частности, производная по направлению (70.2) может быть за-
писана в виде дU
8>.. = \1U . ё = (ё· \1) . И,
где ё = (COS а; cos.8; cos ,).
72.2. Векторные дифференциальные операции второго
порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному
полю получается новое поле , к которому можно снова применить
этот оператор . В результате получаются дuффере'Н'Цuал'Ь'Н'Ые оnера'
Ции второго nорядr.;а . Нетрудно убедиться , что имеется лишь пять
дифференциальных операций второго порядка: div grad И, rot grad И,
grad div а, div rot а, rot rot 0;.
(Понятно, что операция div div 0;, например, не имеет смысла:
div о; - скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е . о div div 0;, бессмысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго
порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что
оператор действует только на множитель , расположенный непосредственно
за оператором .
~ 1. divgradU = \1(\1U) = (\1. \1)U = (::2 + :;2 +~) . и =
- д2 т.; + д2 u + 8
2u. Правая часть этого равенства называется 8х 2 8у2 8z2
оператором Лапласа скалярной функции И и обозначается t::.U. Таким
образом,
82u 82u 82u
divgrad И = t::.U = --2 + --2 + --2'
8х 8у 8z
(72.1)
Дифференциальное уравнение Лапласа t::.U = о играет важную роль
в различных разделах математической физики. Решениями уравнения
Лапласа являются так называемые гармо'Нu'Чесr.;uе фу'Нr.;v,uu.
3аме'Ча'Нuе. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение
скалярный оператор дельта:
82 82 82
t::.=\1.\1=-+-~+-
8х2 8у- 8z2
(который тоже называют оператором Лапласа).
~ 2. rot grad И = \1 х (\1U) = (\1 х \1)U = О, так как векторное произведение
двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это
означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
519
4. div rot а = \7 . (\7 х а) = о, так как смешанное произведение трех
векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что
поле вихря - соленоидальное.
5. rot rot а = \7 х (\7 х а) = \7(\7 . а) - (\7 . \7)а = grad div а - 6.а, так
как двойное векторное произведение обладает свойством
ах (Ь х с) = Ь· а· с - с· а· Ь.
Здесь 6.а = 6.Р i + 6.Q J + 6.R k - векторная величина, полученная в
результате применения оператора Лапласа к вектору а.