74.1. Основные понятия....................................... 525

74.2. Предел и непрерывность функции комплексного

переменного. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

74.3. Основные элементарные функции комплексного

переменного. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 527

74.4. Дифференцирование функции комплексного

переменного. Условия Эйлера-Даламбера............... 532

74.5. Аналитическая функция. Дифференциал.. . .. . . . . . . . . .. 535

74.6. Геометрический смысл модуля и аргумента

производной. Понятие о конформном отображении. . . .. 538

§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540

75.1.0пределение, свойства и правила вычисления

интеграла. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 540

13

75.2. Теорема Коши . Первообразная инеопределенный

интеграл. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . .. 544

75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. ....... . 547

§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551

76.1. Числовые ряды .. .... . ......... . ..... . . . ... . .... . .... . . . . 551

76.2. Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

76.3. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

76.4. Нули аналитической функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 558

76.5. Ряд Лорана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем

и полюсом функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

§ 77. Вычет функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах... .. .. . . 567

77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов

в вычислении интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 568

Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 78. Преобразование Лапласа.......... .. .... .. ................... 572

78.1. Оригиналы ~ их изображения. . . . .. .... .. ....... ........ 572

78.2. Свойства преобразования Лапласа.... ... . ... . .. . ..... .. 576

78.3. Таблица оригиналов и изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 588

§ 79. Обратное преобразование Лапласа . .... ........ .. . .. ......... 590

79.1. Теоремы разложения................... ......... . .. ... .. 590

79.2.Формула Римана-Меллина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

§ 80. Операционный метод решения линейных

дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие предназначено, в первую очередь , для студентов

июкенерно-технических специальностей; может быть полезным для

всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую

математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в

основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых вопросов

хорошо виден из оглавления.

Данный конспект содержит необходимый материал по всем разделам

курса высшей математики и дополнительным главам, необходимым

при изучении специальных курсов. Изложение теоретического

материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого

количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности

строгом языке.

Пособие может быть использовано студентами также для самостоятельного

изучения соответствующего материала, является базой для

подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике.

Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда

он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены,

в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам,

когда некоторые вопросы «слишком длинны» В его конспектах

или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное

количество недель, дней.

Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и преподавателям,

а использование данного пособия будет способствовать более

глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных

дисциплин.

Список обозначении:

Q • - начало и конец решения при мера или задачи;

Q • - начало и конец доказательства;

§ - важные определения;

~ - «обратите особое внимание!»

в рамку заключены формулы, которые важно помнить.

.... ....