§ 21. Дифференцирование неявных

И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

21.1. Неявно заданная функция

• Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относительно

у, то функция задшн,а в .явном виде (явная функция).

~ Под неявним заданием функции понимают задание функции в

виде уравнения F(x; у) = О, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как

неявно заданную уравнением f(x) - у = О, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно

у (например, у + 2х + cosy - 1 = О или 2 У - Х + у = О).

~ Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = О, то для нахо-

ждения производной от У по х нет необходимости разрешать уравнение

относительно у : достаточно продифференцировать это

уравнение по х, рассматривая при этом у 7Са7С фУН7Сцию х,

и полученное затем уравнение разрешить относител:ьно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и

функцию у.

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением

хз + уЗ - 3ху = О.

179

Q Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство

х3 + уЗ - 3ху = о. Из полученного соотношения

зх2 + 3 . у2 . у' - 3(1 . у + х . у') = о

у _ х 2

следует, что у2 у ' - ху' = у - х2 , т. е. у' = ~.

у -х

21.2. Функция, заданная параметрически

• Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически

в виде двух уравнений

{Х = x(t), (21.1)

У = y(t),

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную y~, считая, что функции (21.1) имеют производные

и что функция х = x(t) имеет обратную t = ip(x). По правилу

дифференцирования обратной функции

t~ = ~. (21.2)

x t

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнениями

(21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где

t = ip(x).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y~ =

= y~ . t~.

С учетом равенства (21.2) получаем

, , 1 , y~

ух = Yt· l' т. е. ух = 1· x t x t

Полученная формула позволяет находить производную y~ от

функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости

у от х.

Прu.мер 21.2. Пусть {х = t

2

3

, Найти y~.

у = t .

Q Решение: Имеем x~

У' _ 2

х - 3t·

зt2 , y~ = 2t. Следовательно, y~ 32?t ' т.е.

• в этом м,ОЖНО убедиться, найдя непосредственно зависимость у

от х.

Действительно, t = V'X. Тогда у = VX2. Отсюда y~ = 3 Vx, т. е.

У _ 2

- 3t·

180

§ 22. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную

функцию сн.а'Ч.ала nрологарифмироват'Ь. А затем результат продифференцировать.

Такую операцию называют логарифми'Ч.еС'ICим дифференцированием.

Пpu.мер 22.1. Найти производную функции

(х2 + 2) · V(x - 1)3 . е'"

у = (х + 5)3

а Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифференцирования.

Однако такой способ слишком громоздкий . Применим логарифмическое

дифференцирование. Логарифмируем функцию:

lny = ln(x2 + 2) + ~ ln(x - 1) + х - Зlп(х + 5).

Дифференцируем это равенство по х:

1, 1 3 1 1

- . у = --. 2х + - . -- + 1 - 3· --о

у х2 + 2 4 х - 1 х + 5

Выражаем у':

, (2Х 3 3 )

у = у х2 + 2 + 4(х - 1) + 1 - х + 5 '

т. е.

'= (х2 + 2)· V(x - 1)3 . е'" . (~ + 3 + 1 __ 3_). • у (х + 5)3 х2 + 2 4(х - 1) х + 5

~ Существуют функции, производные которых находят лишь лога-

рифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая

cmeneHHO-nОJCазаmе.ll.ЬНая фУНJCЦUЯ у = u V

, где и = и(х)

и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную

этой функции:

ln у = v . ln и, ==}

-1 . у " = v . ln и + v . -1. и, , ==}

у и

==} У , = У ( v , . ln и + v . ;1, . и ') ,

т. е.

у, ,=и V ( v, · 1n и+v · ;1, · и ') ,

или

1 (иV )' = иV ·ln и · v' + v· иv - 1

. 11.' . 1 (22.1)

181

Сформулир:уем правило запоминания формулы (22.1): производная

степенно-показательноt! функции равна сумме производноt! показательноt!

функции, при условии· и = const, и производноt! степенноt!

функции, при условии v = const.

Прu.м.ер 22.2. Наt!ти производную функции у = (sin 2х)х2 +1.

Q Решение: Пользуясь формулоt! (22.1), получаем:

у' = (sin2xy2+1 ·lnsin2x· 2х + (х2 + 1)(sin2x)X

2

. cos2x· 2. • Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить

суть логарифмического дифференцирования.