- •Isbn 5-8112-1778-1
- •Глава 11. Элементы векторной алгебры
- •§ 5. Векторы....................................................... 39
- •§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства............ 47
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . . 51
- •§ 8. Смешанное произведение векторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
- •9.1. Основные понятия . .. .. .................. . ............... 58
- •10.1. Основные понятия .. ........ . ... . .. . . .. .. . .. . . . .. . . .. . ... 64
- •11 .1. Основные понятия..... . ................ ... .............. 74
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии в простран стве ............. 90
- •12.1. Основные понятия . .... ... ..... . . .. . . . . . .. .. . ............ 90
- •§ 13. Множества. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
- •§ 14. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
- •§ 15. Последовательности................................... ...... . 127
- •§ 16. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.) ....................... . . 136
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции...... . ...... . .... 148
- •§ 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ... 153
- •§ 20. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
- •§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
- •§ 24. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . .. 192
- •27.1. Основные понятия....................................... 218
- •43.1. Основные понятия....................................... 304
- •48.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. . . . . . . . . . .. 344
- •49.1. Основные понятия....................................... 344
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка с постоянными
- •§ 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •§ 52. Системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •52.1. Основные понятия .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •Глава XI. Двойные и тройные интегралы
- •§ 53. Двойной интеграл ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
- •§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
- •54.1. Основные понятия..... ....................... ........... 391
- •§ 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •55.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •§ 56. Криволинейный интеграл Прода. ..... ......... . . . .. . . ... . . .. 407
- •§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода.............................. 420
- •§ 58. Поверхностный интеграл 11 рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
- •58.1. Основные понятия ......... .............................. 427
- •Глава xhi. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
- •59.1. Основные понятия ... . ... .... .. ...... . ................... 438
- •§ 60. Достаточные признаки сходимости
- •62.1. Основные понятия....................................... 457
- •74.1. Основные понятия....................................... 525
- •§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия над матрицами
- •§ 2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§ 3. Невырожденные матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§ 4. Системы линейных уравнений
- •4.1. 'Основные понятия
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3. Решение невырожденных линейных систем.
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§ 6. Скалярное произведение векторов
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •§ 7. ВеКторное произведение векторов
- •§ 8. Смешанное произведение е3екторов '
- •Глава 111. Аналитическая r;еометрия
- •§ 9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •§ 10. Линии на плоскости
- •10.1 .. Основные понятия
- •§ 11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии
- •12.1. Основные понятия
- •Глава V. Введение в анализ
- •§ 13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •§ 14. Функция
- •§ 15. Последовательности
- •§ 16. Предел Функции
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые
- •§ 21. Дифференцирование неявных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 23. Производные высujих порядков
- •§ 24. Дифференциал функции
- •§ 25. Исследование функций при помощи
- •Глава VI. Комплексные числа
- •§ 27. Понятие и гiредст4вления
- •27.1. Основные понятия
- •§ 28. Действия над комi1лексными числами
- •§ 29. Неопределенный интеграл
- •§ 30. Основные методы интегрирования
- •§ 32. Интегрирование тригонометрических
- •§ 33. Интегрирование иррациональных
- •§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся»
- •Глава VIII., определенныи интеграл
- •§3Б. Геометрический и физический смысл
- •§37., Формула. Ньютона-лейбница
- •§ 39. Вычисления определенного интеграла
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •§ 42. Гiриближенное вычисление
- •§ 43. Функции двух переменных
- •43.1. Основные понятия
- •§ 44. Производные и дифференциалы
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль
- •46.1. Основные понятия
- •§ 47. Общие сведения о дифференциальных
- •47.1. Основные понятия
- •§ 48. Дифференциальные уравнения первого
- •48.1. Основные понятия
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших
- •49.1. Основные понятия
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка
- •§ 51. Линейные неоднородные
- •§ 52. Системы tJ.Ифференциальных
- •52.1. Основные понятия
- •§ 53. Двойной интеграл
- •§ 54. Тройной интеграл
- •54.1. Основные понятия
- •§ 55. Криволинейный интеграл I рода
- •55.1. Основные понятия
- •§ 56. Криволинейный интеграл 11 рода
- •56.1. Основные понятия
- •§ 57. Поверхностный интеграл I рода
- •57.1. Основные понятия
- •58.1. Основные понятия
- •Глава XIII. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды
- •59.1. Основные понятия
- •§ 61. Знакочередующиеся
- •Глава XIV. Степенные ряды
- •§ 62. Функциональные ряды
- •62.1. Основные понятия
- •§ 63. Сходимость ctErlEhHbIx рядов
- •§ 64. Разложение функций в ctErlEhHbIe
- •§ 65. Некоторые приложения степенных
- •§ 66. Ряды фурье
- •§ 67. Разложение в ряд фурье
- •Глава XVI. Элементы теории поля
- •§ 69. Основные понятия теории поля
- •§ 72. OrlEpatop гамильтона
- •§ 73. Некоторые свойства основных
- •Глава XVII. Элементы теории функции
- •§ 74. Функции комплексного rlEpemehhOrO
- •74.1. Основные понятия
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости
- •§ 78. Преобра30вание лапласа
- •§ 79. Обратное ГlРеобразование лапласа
§ 14. Функция
14.1. Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие
функции . Понятие функции связано с установлением зависимости (связи)
между элементами двух множеств.
§ Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко-
торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один
элемент у Е У, называется фУНJCцuеt1 и записывается у = f(x), х Е Х
или f : Х -+ У . Говорят еще, что функция f оmобра;нсаеm множество
Х на множество У.
Рис . 98
Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б,
являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не
каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не
соблюдается условие однозначности.
Множество Х называется областью определен/ия функции f и обозначается
D(f). Множество всех у Е У называется множеством зна'
Ч.енuiJ. функции f и обозначается Е(Л·
14.2. Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
Пусть задана функция f : Х -+ У .
~ Если элементами множеств Х и У являются действительные числа
(т. е. Х С IR и У с IR), то функцию f называют 'Чuсловоt1 Фуюсцuеt1.
В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,
для краткости будем именовать их просто функциями и записывать
у = f(x).
Переменная х называется при этом аргументом или независимоti
переменной, а у - фуюсv,uеiJ. или завuсuмоiJ. nepeMeHHoiJ. (от х). От-
120
носительно · самих величин х и у говорят, что они находятся в фун'1Сv,
uoна.л:ьноil завuсu.м.остu. Иногда функциональную зависимость у от
х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (1) для обозначения
зависимости.
Частное зншч.енuе функции f(x) при х = а записывают так: f(a).
Например, е~ли f(x) = 2х2 - 3, то f(O) = -3, f(2) = 5.
Графu'1СО,м, фУН'1Сv,uu у = f(x) на-
зывается множество всех точек плоскости
Оху, для каждой из которых
х является значением аргумента, а
у - соответствующим значением
функции .
Например, графиком функции
у = ~ является верхняя полуокружность
радиуса R = 1 с центром
в 0(0; О) (см. рис. 99) .
у
х
Рис . 99
Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило,
позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у .
Наиболее часто встречаются три способа задания функции : аналитический,
табличный, графический.
А налuтu"tеС'1Сuil способ: функция задается в виде одной или нескольких
формул или уравнений.
Наnри,м,ер:
2) у = {х2 + 1
х-4
при х < 2,
при х? 2;
З) у2 - 4х = о.
Если область определения функции у = f(x) не указана, то предполагается,
что она совпадает с множеством всех знач е ний аргумента,
при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью
определения функции у = Jl"=X2 является отрезок [-1; 1].
Аналитический способ задания функции является наиболее соверщенным,
так как к нему приложены методы математического анализа,
позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x) .
Графu"tеС'1Сuil способ: задается график функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими
приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции
у, соответствующие тем или иным :щачениям аргумента х, непосредственно
находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность,
недостатком - его неточность.
ТаБЛU"tН'Ьtil способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента
и соответствующих значений функции . Например, известные
121
таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические
таблицы . .
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений
функци~, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
14.3. Основные характеристики функции
§ 1. Функция у = f(x), определенная на множестве п, называется
'Ч,етноil, если Vx Е D выполняются условия -х Е D и f( -х) =
= f(x); не'Ч,етноil, если Vx Е D выполняются условия -х Е D и
f(-x) ='-f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной
- относительно начала координат,
Например, у = х2 , У = V1 + х2 , У = ln Ixl - четные функции; а
у = sinx, у = х З
- нечетные функции; у = х - 1, у = JX - функции
общего вида, т, е. не четные и не нечетные.
§ 2, Пусть функция у = f(x) определена на множестве Dи пусть
D1 С п. Если для любых значений xl, Х2 Е D1 аргументов из
неравенства х! < Х2 вытекает неравенство: f(Xl) < f(X2), то функция
у
-2 о 1 3
Рис. 100
х
называется возрастающеil на множестве
D1 ; j(Xl) ~ f(X2), то функция называется
неубъwающеil на множестве
D1 ; f(Xl) > f(X2), то функция называется
уб'bLвающеil на множестве D1 ;
f(Xl) ~ f(X2), то функция называется
невозрастающеil на множестве D1 .
Например, функция, заданная графиком
(см. рис. 100) , убывает на интервале
(-2; 1), не убывает на интервале
(1; 5), возрастает на интервале (3; 5).
§ Возрастающие, невозрастающие, убывающие инеубывающие
функции на множестве п! называются .мOHOтOHHЪL.Ми на этом
множестве, а возрастающие и убываЮ1ЦИе - строго .мOHOтOHHЪL.Ми.
Интервалы, в которых функция монотонна, называются uнтервал.а.
ми .монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна
на (-2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).
§ 3. Функцию у = f(x), определенную на множестве п, называют
огранu'Ч,енноil на этом множестве, если существует такое число
М > О, что для всех х Е D выполняется неравенство If(x)1 ~ М (короткая
запись: у = f(x), х Е п, называется ограниченной на п, если
ЭМ > О : Vx Е D ===> If(x)1 ~ М). Отсюда следует, что график
ограниченной функции лежит между прямыми у = -М и у = М (см.
рис. 101).
122
~ 4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется
nериоди'Чес-к;оf.t на этом множестве, если существует такое число
Т > О, что при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и f(x + Т) = f(x).
При этом число Т называется периодом функции. Если Т - период
функции, то ее периодами будут также числа т . Т, где т = ± 1; ±2, ...
Так, для у = sin х периодами будут числа ±21Т; ±41Т; ±61Т, ... Основной
период (наименьший положительный) - это период Т = 21Т. Вообще
обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее равенству f(x + Т) = f(x).
у
_______________ •__ х в :~€ у=-М
Рис. 101 Рис . 102
14.4. Обратная функция
~ Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и мно-
жеством значений Е. Если каждому значению у Е Е соответствует
единственное значение х Е D, то определена функция х = 'Р(у) с областью
определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая
функция 'Р(у) называется обраmноf.t к функции f(x) и записывается в
следующем виде: х = 'Р(У) = f-l(y). Про функции У = f(x) их = 'Р(У)
говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
х = 'р(у), обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение
f(x) = у относительно х (если это возможно).
Прu.мер'Ы:
1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция
Х --2!У·.
2. Для функции у = х2 , Х Е (О; 1], обратной функцией является
х = ..fij; заметим, что для функции у = х2 , заданной на отрезке (-1; 1],
обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-
чения х (так, если у = i, то Хl = !' Х2 = -!).
123
~ Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x)
имееТ обратную тогда и только тогда, когда функция J(x) задает
взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда
следует, что любая строго .монотонная фУН"Ция и.меет обратНУЮ.
При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ-
ция также возрастает (убывает). у
Заметим, что функция у = J(x)
и обратная ей х = ср(у) изображаются
одной и той же кривой, т. е. графики
их совпадают. Если же условиться,
что, как обычно, независимую переменную
(т. е. аргумент) обозначить
через х, а зависимую переменную че-
рез у, то функция обратная функции х ,- у = f(x) запишется в виде у = ср(х). , ,
~ Это означает, что точка М1 (хо; Уо) /
кривой у = f(x) становится точ- .-
кой м2 (уо; хо) кривой 11 = ср(х). Но Рис. 103
точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у = х (см. рис . 103).
Поэтому граФи"и взаи.мно обратн'Ых Фун"циil у = f(x) и у = ср(х)
си.м.метри'Чн'Ы относительно биссектрис'Ы первого и третьего
"оординатн'Ых углов.
14.5. Сложная функция
§ Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция
и = ср(х) на множестве D1 , причем для Vx Е D1 соответствующее
значение и = ср(х) Е D. Тогда на множестве D1 определена функция
и = f(rp(x)), которая называется СЛOOlCноil фун"циеil от х (или СУnерnозициеil
заданных функций, или фуюсциеil от фун"ции).
Переменную и = ср(х) называют nромежуто'ч:н:ым аргументом
сложной функции.
Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функций
у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных
аргументов.
14.6. Основные элементарные функции и их графики
Основными элементарными функциями называют следующие
функции.
1) ПОlCазателъно.я функция у = аХ, а > О, а =f. 1. На рис. 104 показаны
графики показательных функций, соответствующие различным
основаниям степени.
124
у у
х
Рис. 104
2) Сmеnе'Н:н.а.я функция у = х"', а: Е JR. При меры графиков степенных
функций, соответствующих различным показателям степени,
предоставлены на рис. 105.
у
у
х
у х
o~ у
х
х
у
у
.. ---- ------
х
х
Рис. 105
125
З) Логарuф.мu-ч,ес1':ая функция у = loga х, а > О, а =j; 1; Графики
логарифмических функций, соответствующие различным основаниям,
показаны на рис. 106.
у
х х
Рис. 106
4) Трuгон,о.метрu-ч,еС'ICuе функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у =
= ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный
на рис. 107.
y=sinx у
х
Рис . 107
5) Обратн,'ые трuгон,о.метрu-ч,еС'ICuе функции у = arcsinx, у =
= arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики
обратных тригонометрических функций.
~ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных
элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа
арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления)
и операций взятия функции от функции, называется Злемеиmариоu
фуюсцueu. Примерами элементарных функций могут служить
функции
. 1 tgx
У = аrсsш - - 8 2 3 ;
х х +
126
у у
y=arcsinx
х
y=arccosx
-1 х
у
у
-----------~--------------
2"
--------------~-----------
х
______________ 7r ~1 _________ _
о х
Рис. 108
Примерами 'Неэле.ме'НmаР'Н'ЬLХ функций могут служить функции
{
1, Х > О,
У = signx = О, х = О,
-1, х < О;
{Х2 + 1,
у=
х,
если х ~ О,
если х > О;
х 3 х5 х7 х2n + 1
у = 1 - 3! . 3 + 5! ·5 - 7!. 7 + ... + (_1)n (2n + 1)! . (2n + 1) + ...