- •Isbn 5-8112-1778-1
- •Глава 11. Элементы векторной алгебры
- •§ 5. Векторы....................................................... 39
- •§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства............ 47
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . . 51
- •§ 8. Смешанное произведение векторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
- •9.1. Основные понятия . .. .. .................. . ............... 58
- •10.1. Основные понятия .. ........ . ... . .. . . .. .. . .. . . . .. . . .. . ... 64
- •11 .1. Основные понятия..... . ................ ... .............. 74
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии в простран стве ............. 90
- •12.1. Основные понятия . .... ... ..... . . .. . . . . . .. .. . ............ 90
- •§ 13. Множества. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
- •§ 14. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
- •§ 15. Последовательности................................... ...... . 127
- •§ 16. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.) ....................... . . 136
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции...... . ...... . .... 148
- •§ 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ... 153
- •§ 20. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
- •§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
- •§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
- •§ 24. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
- •§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . .. 192
- •27.1. Основные понятия....................................... 218
- •43.1. Основные понятия....................................... 304
- •48.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. . . . . . . . . . .. 344
- •49.1. Основные понятия....................................... 344
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка с постоянными
- •§ 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •§ 52. Системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •52.1. Основные понятия .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
- •Глава XI. Двойные и тройные интегралы
- •§ 53. Двойной интеграл ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
- •§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
- •54.1. Основные понятия..... ....................... ........... 391
- •§ 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •55.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
- •§ 56. Криволинейный интеграл Прода. ..... ......... . . . .. . . ... . . .. 407
- •§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода.............................. 420
- •§ 58. Поверхностный интеграл 11 рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
- •58.1. Основные понятия ......... .............................. 427
- •Глава xhi. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
- •59.1. Основные понятия ... . ... .... .. ...... . ................... 438
- •§ 60. Достаточные признаки сходимости
- •62.1. Основные понятия....................................... 457
- •74.1. Основные понятия....................................... 525
- •§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия над матрицами
- •§ 2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§ 3. Невырожденные матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§ 4. Системы линейных уравнений
- •4.1. 'Основные понятия
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3. Решение невырожденных линейных систем.
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§ 6. Скалярное произведение векторов
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •§ 7. ВеКторное произведение векторов
- •§ 8. Смешанное произведение е3екторов '
- •Глава 111. Аналитическая r;еометрия
- •§ 9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •§ 10. Линии на плоскости
- •10.1 .. Основные понятия
- •§ 11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •Глава IV. Аналитическая геометрия
- •§ 12. Уравнения поверхности и линии
- •12.1. Основные понятия
- •Глава V. Введение в анализ
- •§ 13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •§ 14. Функция
- •§ 15. Последовательности
- •§ 16. Предел Функции
- •§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •§ 18. Эквивалентные бесконечно малые
- •§ 21. Дифференцирование неявных
- •§ 22. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 23. Производные высujих порядков
- •§ 24. Дифференциал функции
- •§ 25. Исследование функций при помощи
- •Глава VI. Комплексные числа
- •§ 27. Понятие и гiредст4вления
- •27.1. Основные понятия
- •§ 28. Действия над комi1лексными числами
- •§ 29. Неопределенный интеграл
- •§ 30. Основные методы интегрирования
- •§ 32. Интегрирование тригонометрических
- •§ 33. Интегрирование иррациональных
- •§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся»
- •Глава VIII., определенныи интеграл
- •§3Б. Геометрический и физический смысл
- •§37., Формула. Ньютона-лейбница
- •§ 39. Вычисления определенного интеграла
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •§ 42. Гiриближенное вычисление
- •§ 43. Функции двух переменных
- •43.1. Основные понятия
- •§ 44. Производные и дифференциалы
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль
- •46.1. Основные понятия
- •§ 47. Общие сведения о дифференциальных
- •47.1. Основные понятия
- •§ 48. Дифференциальные уравнения первого
- •48.1. Основные понятия
- •§ 49. Дифференциальные уравнения высших
- •49.1. Основные понятия
- •§ 50. Интегрирование ду второго порядка
- •§ 51. Линейные неоднородные
- •§ 52. Системы tJ.Ифференциальных
- •52.1. Основные понятия
- •§ 53. Двойной интеграл
- •§ 54. Тройной интеграл
- •54.1. Основные понятия
- •§ 55. Криволинейный интеграл I рода
- •55.1. Основные понятия
- •§ 56. Криволинейный интеграл 11 рода
- •56.1. Основные понятия
- •§ 57. Поверхностный интеграл I рода
- •57.1. Основные понятия
- •58.1. Основные понятия
- •Глава XIII. Числовые ряды
- •§ 59. Числовые ряды
- •59.1. Основные понятия
- •§ 61. Знакочередующиеся
- •Глава XIV. Степенные ряды
- •§ 62. Функциональные ряды
- •62.1. Основные понятия
- •§ 63. Сходимость ctErlEhHbIx рядов
- •§ 64. Разложение функций в ctErlEhHbIe
- •§ 65. Некоторые приложения степенных
- •§ 66. Ряды фурье
- •§ 67. Разложение в ряд фурье
- •Глава XVI. Элементы теории поля
- •§ 69. Основные понятия теории поля
- •§ 72. OrlEpatop гамильтона
- •§ 73. Некоторые свойства основных
- •Глава XVII. Элементы теории функции
- •§ 74. Функции комплексного rlEpemehhOrO
- •74.1. Основные понятия
- •§ 76. Ряды в комплексной плоскости
- •§ 78. Преобра30вание лапласа
- •§ 79. Обратное ГlРеобразование лапласа
Глава 111. Аналитическая r;еометрия
НА IlЛОСКОСТИ
Лекции 7-9
§ 9. Система координат на плоскости
9.1. Основные понятия
~ Под систе,м,оu 7\:оординат на плоскости понимают способ, позволяющий
численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является nря,м,оуго.ltЬНа.я (aer;;apmoBa) систе,м,а 7\:0-
ординат.
у
у
j
о i Х
Рис. 23
х
Прямоугольная система координат задается
двумя взаимно перпендикулярными
прямыми - осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и задан
единичный (масштабный) отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинаковой
для обеих осей. Эти оси называют ося.
м:и "оорди'Нат, точку их пересечения О -
'На-чnло.м: "оорди'Нат. Одну из осей называют
осью абс'U,uсс (осью Ох), другую ~ осью
орди'Нат (осью Оу) (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной
слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной
снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области -
-четвертu (или "вадра'Нт'Ы).
Единичные векторы осей обозначают 2 и J (121 = IJI = 1,2 .L)).
Систему координат обозначают Оху (или 02)), а плоскость, в которой
расположена система координат, называют "оорди'Нат'Но11 n.лосr;;
остью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор О М
называется paauycom-веr;;mором точки М.
~ Координата,м,и тО-Ч7\:и М в системе координат Оху (Oi)) называются
координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ = (х; у), то
координаты точки М записывают так: М(х; у), число х называется а6-
сциссоu точки М, у - ординатои точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная
точка М плоскости, и наоборот.
58
Другой практически важной системой координат является полярная
система ","оорди'Наm. Полярная система координат задается точкой
О , называемой nол.1рСОМ, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным
вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение
точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О
и углом <р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов
ведется в направлении , противоположном движению часовой стрелки)
(см. рис . 24).
у
~A1(T; ~)
О е р
х
р
Ри с. 24 Рис . 25
Числа r и <р называются nолярн'Ы.м.и JCoopdUHamaMtL точки М,
пишут М(т; <р), при этом r называют nолярни.м. радиусо.м., <р -
nолярн'ЫМ угл.ом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
<р ограничить промежутком (-п; п] (или О ~ <р < 2п), а полярный
радиус - [О; 00). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел r и <р, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами
. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,
а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - прямоугольные
координаты точки М, а r и <р - ее полярные координаты.
Из рисунка 25 видно , что прямоугольные координаты точки М
выражаются через полярные координаты точки следующим образом:
{Х = т · c.os<p,
у=r·sш<р .
Полярные же координ аты точки М выражаются через ее декарто-
вы координаты (тот же рисунок) такими формулами :
{Т = Jx2 + у2,
tg <р = 11...
х
Определяя величину <р, следует установить (по знакам х и у) четверть,
в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -п < <р ~ п .
59
Прu.мер 9.1. Дана точка М(-l; -vз). Найти полярные координаты
точки М.
а Решение: Находим r и <р:
r = JЗ+Т = 2,
-Vз гn
tg<p = -- = vЗ.
-1
Отсюда <р = J + 7Гn, n Е z. Но так как точка М лежит в З-йчетверти,
то n = -1 и <р = J - 7г = - 2;. Итак, полярные координаты точки М
есть r = 2, <р = -2;, т. е. М(2; -~7Г). •
9.2. Основные приложения метода координат
на плоскости
Расстояние межАУ АВУМЯ точками
Требуется найти расстояние d между точками A(Xl; Yl) и В(Х2; У2)
плоскости Оху.
а Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора АВ =
= (Х2 - Xl;Y2 - Yl), т. е.
d = IABI = J(X2 - Xl)2 + (У2 - Yl)2.
Деление отрезка В Аанном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий
точки A(Xl;Yl) и В(Х2;У2) в заданном
отношении л > О, т. е. найти координаты
точки М(х; У) отрезка АВ такой, что
1/1з = л (см. рис. 26).
а Решение: Введем в рассмотрение векторы
АМ и М В. Точка М делит отрезок АВ
в отношении л, если
АМ=Л·МВ. (9.1)
у
А
~B
О
Рис . 26
• х
Но АМ = (X-Хl;У-Уl), т.е. АМ = (X-Хl)Z+(У-Уl)J и МВ =
= (Х2 - х; У2 - У), т. е. М В = (Х2 - X)Z + (У2 - y)J. Уравнение (9.1)
принимает вид
(Х - Xl)Z + (У - Yl)J = Л(Х2 - X)Z + Л(У2 - y)J.
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
Xl + ЛХ2
Х - Xl = ЛХ2 - ЛХ, т. е. Х = (9.2)
l+л
60
и У1 + ЛУ2
У - Yl = ЛУ2 - ЛУ, т. е. У = 1 + л . (9.3)
Формулы (9.2) и (9.3) называются Формуламu деле'Ния отреЗ1Са в да'Н'
Нам от'Ноше'Нuu. В частности, при л = 1, т. е. еc.hи АМ = М В, то они
примут вид Х = Х1! Х2, У = Yl! У2 В этом случае точка М(Х; у)
является cepeauHoi1. отрезх:а АВ. • 3аме'Ча'Нuе: Если л = О, то это означает, что точки А и М совпадают,
если л < О, то точка М лежит вне отрезка АВ - говорят, что
точка М делит отрезок АВ внешним образом (л =1- -1, т. к. в противном
случае ~Лfз· = -1, т. е. АМ + МВ = О, т. е. АВ = О).
ПлощаАЬ треугольника
Требуется найти площадь треугольника
АВС с вершинами A(X1iY1), В(Х2;У2),
С(ХЗiУз)·
О Решение: Опустим из вершин А, В, С
перпендикуляры АА 1 , ВВ 1 , СС1 на ось ОХ
(см . рис. 27). Очевидно, что
8АВС = 8AAtBtB + 8BtBCCt - 8AtACCt ·
Поэтому
х
~+~ ~+~ ~+~
8АВС = 2 . (Х2 - Xl) + -2- . (Хз - Х2) - -2- . (Хз - Xl) =
= ~(X2Y1 - XIYl + Х2У2 - ХIУ2 + ХЗУ2 - Х2У2 + ХзУз-
- Х2УЗ - ХЗУ1 + XIY1 - ХзУз + ХIУЗ) =
= ~(ХЗ(У2 - Yl) - Xl(Y2 - Yl) - Х2(УЗ - Уl) + Хl(УЗ - Yl)) =
= -21 ((У2 - Уl)(ХЗ - Х1) - (УЗ - Уl)(Х2 - Xl)) = -21 1 Хз - Х1
Уз - У1
т. е.
8/:; = ~ .I Хз - Хl
2 Уз - Уl • 3а.м.е'Ч,а'Нuе: Если при вычислении площади треугольника получим
8 = О, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если
же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3. Преобраэование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется
nреобразова'Нuем системы х:оорди'Нат.
61
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы
координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость
между координатами произвольной точки плоскости В разных
системах координат.
Параллельный перенос осей КООРАинат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.
Под nараллел'Ь'НЪtМ nере'Носом осей координат понимают переход от системы
координат Оху к новой системе 01 Х1 Yl, при котором меняется
положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются
неизменными.
у
I
I
/
/
/
I
У:, ,-,
'1
\
, l
о ---
м
----------- --- х
х
Рис. 28
Пусть начало новой системы координат точка 01 имеет координаты
(хо; Уо) в старой системе координат Оху, т. е. 01 (ХО; . Уо). Обозначим
координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через
(х; у), а в новой системе 01Х1У1 через (х/; у/) (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы
ОМ = х:[ + yJ, O~ = хо:[ + YoJ, 01 М = х/:[ + у/Т
Так как ОМ = O~ + 01М' то х:[ + у} = хо:[ + Уо} + х/:[ + y/J, т. е.
х . :[ + у . J = (хо + х') . :[ + (Уо + у') . J.
Следовательно,
{Х = хо + х',
у = Уо + у'.
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х
и у по известным новым х' и у' и наоборот.
Поворот осей КООРАинат
Под поворотом ocei1 х:оорди'Но.т понимают такое преобразование
координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол,
а начало координат и масштаб остаются неизменными.
62
Пусть новая система 01 Х1 У1 получена поворотом системы Оху на
угол а (см. рис. 29).
Пусть М - произвольная точка плоскости, (х; у) - ее координаты
в старой системе и (х'; у') - в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и
полярными осями ОХ и ОХ1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в
обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны а + <р
и <р, где <р - полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным
имеем
{Х = r . cos(a + <р),
у = r . sin(a +<р), {Х = r cos <р . c.os а - r s.in <р . sin а,
т. е.
у = r cos <р . sш а + r sш <р . cos а.
Но r cos <р = х' и r sin <р = у'. Поэтому
{Х = х' cosa - у' sina,
у = х' sin а + у' cos а.
~ Полученные формулы называются формулам/и поворота ocefL.
Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной
точки М через новые координаты (х'; у') этой же точки М, и наоборот.
у уА
Х!
х
О Х
Рис. 29 Рис.' 30
Если новая система координат 01 Xl Yl получена из старой Оху путем
параллельного пере носа осей координат и последующим поворотом
осей на угол а (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы
OlXY легко получить формулы
{
х = х' . cos а - у' . sin а + хо,
у = х' . sin а + у' . cos а + Уо,
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее
новые координаты х' и у'.
63