§ 42. Гiриближенное вычисление

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

• ь

Пусть требуется найти определенный интеграл J f(x) dx от непреа

РЫБНОЙ функции f(x). Если можно найти первообразную Р(х) функции

f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

ь J f(x) dx = Р(Ь) - Р(а).

а

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме

того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная

выражается через элементарные функции. В этих и других

случаях (например, функция У = f(x) задана графически или таблично)

прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный

интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного

вычисления определенного интеграла - формулу прямоугольников,

формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на

геометрическом смысле определенного интеграла.

42.1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; Ь], а < Ь, задана непрерывная функция f(x).

ь

Требуется вычислить интеграл J f(x) dx, численно равный площади

а

соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой

трапеции, т. е. отрезок [а; Ь], на n равных частей (отрезков) длины

'~ = Ь - а = xi - xi-] (шаг разбuе'Н:u.я) с помощью точек хо = а, n

хl, Х2,···, Х N = Ь. Можно записать, что xi = ХО + h · i , где i = 1,2, ... , n

(см. рис. 199).

Х · 1 + Х ·

В середине Ci = >- 2 > каждого такого отрезка построим орди-

нату' Yi = f(Ci) графика функции У = f(x). Приняв эту ординату за

высоту, построим прямоугольник С площадью h . fj;.

298

у

, ,,-

,,У I , ,

'СI 'С2 С; 'Сп Х

О а=ХОХI Х2 Xi-I Х;

Рис. 199

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой

фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого

определенного интеграла

ь n JJ ( х) dx ~ h(Y-1 + У-2 + . . . + У-n) = -Ь-:-;;:-аL" J (Xi-l2 +Хi) . (4 2.1)

а i=1

~ Формула (42.1) называется форм,у.лоU средних nр,ям,оугоJt"Ьни?

Сов.

Абсолютн.ая nогрешн.остъ приближенного равенства (42.1) оценивается

с помощью следующей формульr:

IR I ~ (Ь - а)З . М2

n -...::: 24n2 '

где М2 - наибольшее значение IJ//(X) I на отрезке [а; Ь],

IRnI ~ ! f(x) dx - ь: а t, f(X'-'2 +х') I

Отметим, что для линейной функции и(х) = kx + Ь) формула (42.1)

дает точный ответ, поскольку в этом случае J//(x) = о.

42.2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников:

на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется

обычной.

Разобьем отрезок [а; Ь] на n равных частей длины h = Ь - а. Абn

сциссы точек деления а = Ха, Х1, Х2, ... ,Ь = х n (рис. 200) . Пусть Уа,

У1, ... ,Уn - соответствующие им ординаты графика функции. Тогда

299

у

Уn-l Уn

h

Хn-l ь=х n Х

Рис. 200

расчетные формулы для этих значений примут вид Х; = а + h· i, У; =

= f(xi), i = 0,1,2, ... , n; h = Ь - а.

n

Заменим кривую У = f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют

концы ординат У; и Yi+l (i = 0,1,2, ... , n). Тогда площадь криволинейной

трапеции приближенно равна сумме площадей обычных

трапеций с основаниями Yi, УНl и высотой h = Ь - а: n

ь J f(x) dx ~ Уо + Уl . h + Уl + У2 . h + ... + Уn-l + Уn . h

2 2 2

а

или

ь Jf (x) dx ~ -ь- ---:;;а- (Уо +2 Уn + Уl + У2 + ... + Уn-l ) . (42.2)

а

~ Формула (42.2) называется фор.му.яоii. mpanev,uii..

Абсолютная nогрешность Rn приближения, полученного по фор(

Ь а)3

муле трапеций, оценивается с помощью формулы IRnI:::; 1;n2 . М2 ,

где М2 = шах If"(x)l. Снова для линейной функции У = kx + Ь форa~

x~b

мула (42.2) - точная.

42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у = f(x) на каждом отрезке

[Xi-l; Xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и

прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формуь

лу приближенного вычисления интеграла J J(x) dx.

а

300

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра- '

ниченной сверху графиком параболы У = ах2 +Ьх+с, сбоку - прямыми

х = -h, х = h и снизу - отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки

M1(-h;yo), М2 (0;У1), Мз (h;У2), где Уо =

= ah2 - bh + с - ордината параболы в точке

х = - h; У1 = С - ордината параболы в точке

х = О; У2 = ah2 + bh + с - ордината параболы

в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S

равна

h

S = / (ах2 + Ьх + с) dx =

-h

У

,.

:УО> ...

-h О

<• . ,','

YI:::: .:>.::., У2 .,

.. ': .. :.

'.»>,

h х

Рис. 201

(42.3)

Выразим эту площадь через h, Уо, У1, У2. Из равенств для ординат Yi

находим, что с = У1, а = ~(Yo - 2Yl +У2). Подставляя эти значения с

и а в равенство (42.3), получаем

ь

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла/f(Х) dx.

а

Для этого отрезок [а; Ь] разобьем на 2n равных частей (отрезков)

длиной h = Ь ~ а точками xi = ХО + ih (i = 0,1,2, ... , 2n). В точках

деления а = ХО, xl, Х2, ... , X2n-Z, X2n-l, XZn = Ь вычисляем значения

подынтегральной функции f(x): Уо, У1, У2,···, YZn-2, YZn-l, YZn, где

Yi = ЛХ4) (см. рис. 202).

Заменяем каждую пару соседних элементарныlx криволинейных

трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической

трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [хо; XZ] парабола

проходит через три точки (хо; Уо), (xl; У1), (Х2; У2). Используя формулу

(42.4), находим

"'2 h

S1 = / f(x) dx = з(Уо + 4У1 + yz).

"'о

301

у

..................

...

о • .• .• .• .

• .• . •0.0 ••• .• . •О,.

о • .• .• .• о а=хо Хl Х2 хз Х2n-2 Х2n-l Х2n =Ь х

Рис. 202

Аналогично находим

:1:'21'1_2

Сложив полученные равенства, имеем

ь h J f(x) dx ~ з(Уо + 4Уl + 2У2 + ... + 2У2n-2 + 4У2n-l + У2n)

а

или

ь Ь _ а J f(x) dx ~ ~ ((Уо + У2n) + 4(Yl + Уз + ... + Y2n-l)+

а

+ 2(У2 + У4 + ... + У2n-2)) . (42.5)

~ Формула (42.5) называется фор,м,у./tОi1. nарабо./t (или Симпсона).

Абсолюm'Н.й.Я nогреш'Н.осmъ вычисления по формуле (42.5) оценивается

соотношением

ь

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла J f(x) dx

а

во всех случаях, когда f(x) - многочлен, степень которого меньше или

равна трем (тогда fJV = О).

302

2

Прu.мер 42.1. Вычислить J хз dx, разо

бив отрезок интегрирования [О; 2] на 4 части.

Q Решение: Имеем: f(x) = хз ,

у

8

Ь - а 2 1

а = хо = О; Ь = Х4 = 2, h = -n- = 4 = 2'

1 1

хо = О, УО = О; Хl = 2' У! = 8; Х2 = 1, У2 = 1;

3 27

хз = 2' УЗ = 8; Х4 = 2, У4 = 8;

(см. рис. 203)

а) по формуле прямоугольников:

1 _ 1 3 _ 27

С! = 4' У! = 64; С2 = 4' У2 = 64; О! 1 :! 2 х

5 _ 125 7 _ 343 2 2

СЗ = 4' УЗ = 64; С4 = 4' У4 = 6' Рис. 203

J

2 1(127125343) J2 хз dx ~ 2 64 + 64 + 64 + 64 = 3,875, т. е. хз dx ~ 3,875;

о о

б) по формуле трапеции:

J2 3 1(0+8 1 27)

х dx ~ 2 -2- + 8" + 1 + 8 = 4,25,

о

в) по формуле парабол:

т. е.

2 J хз dx ~ 4,25;

о

j х3 dx ~ 6 ~ 2 (о + 8 + 4 (~ + 2;) + 2 . 1) = 4, т. е.

2 J хз dx ~ 4.

о о

2 2

Точное значение интеграла J хз dx = х44 1о = 4.

о

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы:

а) 0,125; б) 0,25; в) о . • Глава IX. Функции НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

I Лекции 34-3б I

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости,

существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное

понятие Функциона.льной зависимости и ввести понятие функции

нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие

факты теории функций нескольких переменных наблюдаются

уже на функциях двух переменных . Эти факты обобщаются на случай

большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных

можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.