Тема 3. Средние величины и показатели вариации.

Методические рекомендации и решение типовых задач

Средняя величина в статистике – обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку.

В практике статистических расчетов применяются следующие виды средних величин: средняя арифметическая (простая, взвешенная), средняя гармоническая (простая, взвешенная), средняя хронологическая, геометрическая и квадратическая.

Выбор вида средней зависит от целей исследования, экономической сущности усередняемого показателя и характера имеющихся данных.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака всей совокупности образуется как сумма значений этого признака у ее отдельных единиц.

Формулы и техника расчетов следующие:

Простая средняя арифметическая (не взвешенная)

;

Средняя арифметическая взвешенная

.

Рассмотрим расчет средней арифметической.

Пример 3.1.

Стаж работы 11 работников предприятия характеризуется следующими данными (года): 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 8; 10. Определить средний стаж работы.

Решение.

Рассчитаем средний производственный стаж, используя среднюю арифметическую простую (не взвешенную), так как объем варьирующего признака проработанных лет работниками (51 год), образуется как сумма стажа каждого работника

	=	1+2+2+3+4+4+5+6+6+8+10	=	4,6 года.
		11

Расчет средней арифметической по данным ряда распределения имеет свои особенности.

Пример 3.2.

Производственный стаж работников предприятия характеризуется следующими данными:

Таблица 16

Стаж, лет	Число работников, чел.
1 – 4	4
4 – 7	5
7 – 10	2
Итого	11

Определим средний производственный стаж.

Для расчета среднего стажа следует использовать среднюю арифметическую взвешенную, так как интервальные значения признака встречаются не один раз и частоты (число работников) не одинаковы.

Следует установить середину интервалов (стажа работы) и провести расчеты:

где – середина интервалов,

– число работников.

лет.

Отличие данного результата от предыдущего заключается в том, что в расчете на основе ряда распределения используется серединное значение изучаемого признака, а не исходные индивидуальные данные.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей.

Формулы и техника расчета средней гармонической следующие:

простая средняя гармоническая

взвешенная средняя гармоническая

Рассмотрим расчет средней гармонической.

Пример 3.3.

Цена за единицу товара А, продаваемого в торговом предприятии №1, составила 80 руб., а в торговом предприятии №2 – 100 руб. Какова средняя продажная цена, если выручка от реализации товара в торговых предприятиях одинакова.

Для расчета средней цены следует использовать среднюю гармоническую простую, так как весами являются выручки от продажи (товарооборот). Равенство весов позволяет провести расчеты по средней гармонической простой:

руб.

Пример 3.4.

Имеются следующие данные по торговому объединению:

Таблица 17

Предприятие	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
«Волна»	12000	360
«Ритм»	14000	490

Определите среднюю заработную плату.

Решение.

Для расчета средней заработной платы используем формулу средней гармонической взвешенной:

где - фонд заработной платы;

- средняя заработная плата по предприятиям.

руб.

Применение данной формулы обусловлено тем, что средняя заработная плата определяется отношением фонда заработной платы ( ) к численности работников, а численность работников можно рассчитать, разделив фонд заработной платы на среднюю заработную плату

.

Формулы и техника расчетов средней хронологической и средней геометрической изложены в главе «Ряды динамики».

Структурные средние величины

Наряду со средними величинами в вариационных рядах распределения рассчитывают структурные средние – моду и медиану.

Мода – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

В интервальном вариационном ряду распределения мода рассчитывается по формуле

где – нижняя граница модального интервала,

– величина модального интервала,

– частота модального интервала,

– частота интервала, предшествующая модальному,

– частота интервала, последующая за модальным.

Медиана – это значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.

В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по формуле

где - нижняя граница медианного интервала,

- величина медианного интервала,

- полусумма частот ряда распределения,

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу,

- частота медианного интервала.

Для характеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части, квинтели – на пять равных частей, децили – на десять равных частей и перцентили – на сто равных частей.

Рассмотрим расчет моды и медианы.

Пример 3.5.

Имеется следующее распределение предприятий района по объему товарооборота:

Таблица 18

Группы предприятий по объему товарооборота, млн. руб	Число предприятий в группе
до 100	8
100 – 200	12
200 – 300	10
Итого	30

Определите моду и медиану, поясните экономический смысл рассчитанных показателей.

Решение.

1. Определяем моду ряда распределения по формуле

Устанавливаем модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. В нашем примере это интервал от 100 млн. руб. до 200 млн. руб., так как ему соответствует наибольшая частота – 12 предприятий. Величина интервала =100.

млн. руб.

Значит, наибольшее число предприятий района имеют товарооборот 166,7 млн. руб.

2. Определяем медиану ряда распределения по формуле:

Устанавливаем медианный интервал. Для этого сначала определяем полусумму частот ряда распределения

Так как медианный интервал – это интервал, где первая сумма накопленных частот больше или равна полусумме частот ряда, т.е. ≥ , поэтому находим накопленные результаты:

= 8; (8 + 12) = 20, 20>15, значит медианный интервал по порядку второй, т.е. от 100 млн. руб. до 200 млн. руб.

млн. руб.

Значит, половина предприятий имеет товарооборот до 158,3 млн. руб., а другая половина – свыше этой величины.

Показатели вариации

Показатели вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака. По размеру показателя вариации делают вывод о типичности средней величины, найденной для данной совокупности, и об однородности самой совокупности.

Показатели вариации подразделяются на абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели вариации:

Размах вариации ( )

,

среднее линейное отклонение ( )

,

дисперсия ( )

,

среднее квадратическое отклонение ( )

.

Относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации ( )

,

коэффициент осцилляции ( )

,

Коэффициент равномерности ( )

.

Если коэффициент вариации не превышает 30-33%, то это говорит о том, что колеблемость изучаемого признака невысокая, средняя величина является типичной, надежной, изучаемая совокупность однородна. Если же коэффициент вариации более 30-33%, то все выводы следует изменить на противоположные.

Рассмотрим расчет показателей вариации.

Пример 3.6.

Имеются следующие данные по распределению стажа работников предприятия.

Таблица 19

Стаж, лет	Число работников, чел.
1 – 4	4
4 – 7	5
7 – 10	2
Итого	11

Определите:

1. Размах вариации.

2. Среднее линейное отклонение.

3. Дисперсию.

4. Среднее квадратическое отклонение.

5. Коэффициенты: вариации; осцилляции, равномерности.

6. Сделайте выводы.

Решение.

1. Размах вариации

лет.

Для расчета остальных показателей составим разработочную таблицу:

Таблица 20

Стаж, лет	Число работников, чел.
1 – 4	4	2,5	10,0	-2,5	|10,5|	6,25	25,0
4 – 7	5	5,5	27,5	0,5	2,5	0,25	1,25
7 – 10	2	8,5	17,0	3,5	7,0	12,25	24,5
Итого	11	-	54,5	-	19,5	-	50,75

Средний стаж работы

лет.

2. Среднее линейное отклонение

лет.

3. Дисперсия

.

4. Среднее квадратическое отклонение

года.

5. Коэффициенты:

вариации ,

осцилляции ,

равномерности .

Вывод. Анализ полученных данных говорит о том, что стаж работников предприятия отличается от среднего стажа ( ) в среднем на 2,1 года или на 42%. Значение коэффициента вариации превышает 33%, следовательно, вариация производственного стажа велика. Средний производственный стаж не является типичной, надежной характеристикой, а сама совокупность не является однородной по производственному стажу.

Об этом свидетельствуют и коэффициент осцилляции (180%) и коэффициент равномерности (58%).

Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.

Коэффициент детерминации

и эмпирическое корреляционное отношение

Общая дисперсия

;

Внутригрупповые дисперсии

; ;

Средняя из внутригрупповых дисперсий

;

Межгрупповая дисперсия

;

где: – общая средняя,

– средняя в i-ой группе.

Правило сложения дисперсий:

.

Коэффициент детерминации – это отношение межгрупповой дисперсии к общей, показывает влияние факторного признака на результативный

.

Эмпирическое корреляционное отношение .

Чем ближе этот показатель к единице, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

Пример 3.7.

Для изучения взаимосвязи между стажем работы и производительностью труда (часовой выработкой) произведена следующая группировка рабочих:

Таблица 21

№ группы	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Среднечасовая выработка продукции одного рабочего, шт.
I	до 3	5	2; 2; 3; 3; 4
II	3 – 5	15	2; 2; 3; 3; 3; 3; 3
			4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4

Определите:

1. Среднюю часовую выработку продукции по каждой группе и по двум группам вместе.

2. Внутригрупповые дисперсии.

3. Среднюю из внутригрупповых дисперсий.

4. Межгрупповую дисперсию.

5. Общую дисперсию.

6. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

7. Сформулируйте выводы.

Решение.

1. Определяем среднюю выработку по каждой группе :

I группа

шт.

II группа шт.

Определяем среднюю выработку по двум группам

шт.

2. Определяем внутригрупповые дисперсии по формуле

.

I группа

Для расчета составим разработочную таблицу 22.

Таблица 22

Выработка,	Число рабочих,
2	2	2 - 2,8 = -0,8	(-0,8)^2 = 0,64	0,64·2 = 1,28
3	2	3 - 2,8 = 0,2	(0,2)^2 = 0,04	0,04·2 = 0,08
4	1	4 - 2,8 = 1,2	(1,2)^2 = 1,44	1,44·1 = 1,44
Итого	5	-	-	2,8

Дисперсия для I-ой группы

.

II группа

Для расчета также построим разработочную таблицу

Таблица 23

Выработка,	Число рабочих,
2	2	2 - 3,4 = -1,4	(-1,4)^2 = 1,96	1,96·2 = 3,92
3	5	3 - 3,4 = -0,4	(-0,4)^2 = 0,16	0,16·5 = 0,8
4	8	4 - 3,4 = 0,6	(0,6)^2 = 0,36	0,36·8 = 2,88
Итого	15	-	-	7,6

Дисперсия для II-ой группы

.

3. Определяем среднюю из внутригрупповых дисперсий

4. Определим межгрупповую дисперсию

5. Определим общую дисперсию

6. Определим коэффициент детерминации

или 11,6%.

7. Определим эмпирическое корреляционное отношение

Вывод. Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация выработки продукции на 11,6% зависит от вариации (колеблемости) стажа работников и на 88,4% от прочих факторов. Эмпирическое корреляционное отношение равное 0,341 свидетельствует о том, что связь между производственным стажем и выработкой незначительная.

Пример 3.8.

Имеются следующие данные (таблица 24):

Таблица 24

Стаж, лет	Число работников, чел	Выработка изделий работников, шт.
1 – 4	4	6; 6; 8; 7
4 – 7	5	7; 9; 10; 8; 9;
7 – 10	2	10, 12

Определите коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сформулируйте вывод.

Решение.

1. Рассчитаем среднюю выработку по каждой группе работников в зависимости от стажа .

I группа (стаж 1-4) шт.

II группа (стаж 4-7) шт.

III группа (стаж 7-10) шт.

2. Определим среднюю выработку в целом по предприятию

шт.

3. Определим межгрупповую дисперсию

.

Для расчета межгрупповой дисперсии построим разработочную таблицу 25.

Таблица 25

Стаж, лет	Число работников, чел.	Средняя выработка, шт.
1 – 4	4	6,8	-1,6	2,56	10,24
4 – 7	5	8,6	0,2	0,04	0,2
7 – 10	2	11,0	2,6	6,76	13,52
Итого	11	8,4	-	-	23,96

.

4. Рассчитаем общую дисперсию

.

Для этого возведем данные о выработке изделий в квадрат (таблица 26).

Таблица 26

Выработка изделий, шт.
6	36
6	36
8	64
7	49
7	49
9	81
10	100
8	64
9	81
10	100
12	144
Итого	804

.

5. Определим коэффициент детерминации

или 86,2%.

6. Определим эмпирическое корреляционное отношение

Вывод. Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация выработки изделий на 86,2% зависит от вариации (колеблемости) производственного стажа работников и на 13,8% от прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение близко к единице (0,928), это свидетельствует о тесной связи между стажем работников и выработкой.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Имеются следующие данные:

Таблица 27

Фабрики	Фактический выпуск продукции за отчетный период, млн. руб.	Процент выполнения плана	Процент стандартной продукции
1	665,0	95,0	80,0
2	880,0	110,0	90,0

Определите:

1. Средний процент выполнения плана по двум фабрикам.

2. Средний процент стандартной продукции.

Задача 2.

Имеются данные о посевной площади и урожайности пшеницы:

Таблица 28

№ бригады	Базисный год		Отчетный год
	урожайность, ц/га	площадь, га	урожайность, ц/га	валовой сбор, ц
1	19,5	240	22,0	5500
2	20,0	260	23,5	6300
3	21,6	200	24,0	4600

Определите:

1. Среднюю урожайность пшеницы по всем бригадам в базисном и отчетном периодах.

2. Изменение средней урожайности пшеницы в отчетном периоде по сравнению с базисным в абсолютных и относительных величинах.

3. Дайте обоснование применения формул для расчета средних величин.

Задача 3.

Два предприятия произвели в отчетном году продукцию равной стоимости. На предприятии А цена за единицу продукции составила 5 тыс. руб., а на предприятии В − 7 тыс. руб. Какова средняя цена единицы продукции, выпущенной на двух предприятиях?

Задача 4.

Имеются данные о розничном товарообороте магазинов за отчетный период в двух микрорайонах города:

Таблица 29

Микрорайон А			Микрорайон В
магазины	фактический товарооборот, млн. руб.	% выполнения	магазины	плановое задание, млн. руб.	% выполнения
1	380,0	102,0	4	440,0	108,0
2	480,0	97,0	5	360,0	99,0
3	340,0	101,0	6	550,0	102,0

Определите:

1. Средний процент выполнения задания по розничному товарообороту для каждого микрорайона.

2. Сумму превышения фактической реализации товаров по сравнению с планом по каждому микрорайону.

3. Дайте обоснование применения формул для расчета средних величин.

Задача 5.

Имеется следующее распределение предприятий по стоимости основных производственных фондов:

Таблица 30

Группы предприятий по стоимости основных фондов, млн. руб.	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	Всего
Число предприятий в % к итогу	15	30	20	15	15	5	100

Определите:

1. Средний размер основных производственных фондов.

2. Показатели центра распределения (моду и медиану).

3. Показатели вариации (абсолютные и относительные).

4. Сделайте выводы.

Задача 6.

Имеются следующие данные о распределении магазинов по размеру месячного товарооборота:

Таблица 31

Товарооборот, млн. руб.	до 50	50-100	100-150	150-200	200-250	свыше 250	Всего
Число магазинов	10	13	10	7	5	5	50

Определите:

1. Средний товарооборот в расчете на один магазин традиционным способом и способом «моментов».

2. Моду и медиану.

3. Показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Коэффициенты: вариации, осцилляции, равномерности и относительного линейного отклонения.

4. Поясните экономический смысл рассчитанных показателей. Сделайте выводы.

Задача 7.

Бригада рабочих цеха, состоящая из 10 человек, к концу месяца имела следующие показатели по выполнению норм выработки:

Таблица 32

Группы рабочих по степени выполнения плана, %	Процент выполнения плана
до 100	90, 95, 85, 92
свыше 100	100, 102, 104, 103, 105, 104

Определите:

1. Групповые дисперсии.

2. Межгрупповую дисперсию.

3. Общую дисперсию (обычным способом и по правилу сложения дисперсий).

4. Эмпирическое корреляционное отношение.

Задача 8. Установите связь между факторным и результативным признаками, если внутригрупповые дисперсии , . Число единиц в первой группе – 14. Средние величины: в первой группе – 2, во второй – 3. Общая средняя величина – 4,0. Сформулируйте вывод.