Тема 6. Статистическое изучение связи между явлениями

Методические указания и решение типовых задач

Основной задачей статистики является выявление и теоретическое обоснование закономерностей развития социально–экономических явлений, которые отражают причинные связи между явлениями.

Различают два вида связей: функциональные и корреляционные.

При статистических исследованиях корреляционных связей одной из главных задач является определение формы корреляционной связи, т.е. построение модели связи. Наиболее часто для определения формы корреляционной связи используется уравнение прямой

,

где − теоретическое значение результативного признака,

− факторный признак,

и − параметры уравнения связи.

Уравнение связи называется уравнением регрессии, а анализ, производимый с помощью уравнения регрессии, называется регрессионным анализом.

После установления вида функции для модели связи определяются параметры уравнения регрессии и . Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры и .

,

.

Параметр − коэффициент регрессии, который показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Параметр не имеет экономического содержания, так как может принимать отрицательные значения.

Для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности, который определяется по формуле

.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на один процент.

Важное место в анализе регрессионной модели занимает оценка тесноты корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Для измерения тесноты корреляционной связи при линейной форме связи применяется линейный коэффициент корреляции.

.

Линейный коэффициент корреляции можно определить, используя формулу

,

где − среднеквадратическое отклонение факторного признака,

− среднеквадратическое отклонение результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1 и показывает тесноту и направление корреляционной связи. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем связь теснее.

Отрицательное значение свидетельствует об обратной связи между признаками. Характеристика степени тесноты связи оценивается по таблице Чеддока.

Таблица 53

Диапазон измерения	0,1−0,3	0,3−0,5	0,5−0,7	0,7−0,9	0,9−0,99
Характеристика связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Если линейный коэффициент корреляции равен 0, то корреляционная связь отсутствует, если равен 1, то корреляционная связь переходит в функциональную.

Рассмотрим расчет параметров уравнения прямой коэффициента эластичности и линейного коэффициента корреляции на конкретном примере.

Пример 6.1.

Имеются следующие данные обследования промышленных предприятий:

Таблица 54

Стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Объем валовой продукции, млн. руб.	20	25	31	31	40	56	52	60	60	70

Определите:

1. Параметры теоретического уровня регрессии (форма корреляционной связи прямая).

2. Коэффициент эластичности.

3. Линейный коэффициент корреляции.

4. Поясните экономический смысл рассчитанных показателей.

Решение.

1. Параметры уравнения регрессии ( и ). Корреляционная зависимость между стоимостью основных производственных фондов и объемом валовой продукции является прямолинейной, следовательно, уравнение регрессии будет представлять собой уравнение прямой

.

Для определения параметров и решим систему нормальных уравнений

Составим разработочную таблицу:

Таблица 55

1	20	1	20
2	25	4	50
3	31	9	93
4	31	16	124
5	40	25	200
6	56	36	336
7	52	49	364
8	60	64	480
9	60	81	540
10	70	100	700
55	445	385	2907

Подставим значения в систему уравнений

.

Параметры системы нормальных уравнений можно определить различными способами. Используем для расчета формулы:

;

.

Уравнение регрессии примет следующий вид

.

Параметр уравнения регрессии представляет собой коэффициент регрессии. В нашем примере . Это означает, что с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 млн. руб. объем валовой продукции увеличивается на 5,6 млн. руб.

2. Расчет коэффициента эластичности проводится по формуле

.

Стоимость основных производственных фондов – это признак-фактор, обозначен через , а объем валовой продукции – признак-результат, обозначен через . Эластичность представляет собой изменение признака-результата под воздействием признака-фактора .

Статистическую оценку эластичности дает коэффициент эластичности.

Для расчета коэффициента эластичности предварительно определим среднюю стоимость основных производственных фондов и средний объем валовой продукции .

; .

Коэффициент эластичности ,7 показывает, что с ростом основных производственных фондов на 1%, объем валовой продукции увеличивается на 0,7%.

3. Расчет линейного коэффициента корреляции проводится по формуле

,

− среднее квадратическое отклонение по стоимости основных производственных фондов,

− среднее квадратическое отклонение по объему валовой продукции.

, .

Для расчета линейного коэффициента корреляции предварительно построим разработочную таблицу:

Таблица 56

1	20	1-5,5=-4,5	20,25	20-44,5=-24,5	600,25
2	25	2-5,5=-3,5	12,25	25-44,5=-19,5	380,25
3	31	3-5,5=-2,5	6,25	31-44,5=-13,5	182,5
4	31	4-5,5=-1,5	2,25	31-44,5=-13,5	182,5
5	40	5-5,5=-0,5	0,25	40-44,5=-4,5	20,25
6	56	6-5,5=0,5	0,25	56-44,5=11,5	132,25
7	52	7-5,5=1,5	2,25	52-44,5=7,5	56,25
8	60	8-5,5=2,5	6,25	60-44,5=15,5	240,25
9	60	9-5,5=3,5	12,25	60-44,5=15,5	240,25
10	70	10-5,5=4,5	20,25	70-44,5=25,5	650,25
55	445	-	82,5	-	2684,5

Среднеквадратическое отклонение стоимости основных производственных фондов

.

Среднеквадратическое отклонение объема валовой продукции

.

Линейный коэффициент корреляции

.

Коэффициент корреляции показывает, что корреляционная связь между основными производственными фондами и выпуском продукции является весьма высокой и прямой.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, используется коэффициент ассоциации Д.Юла или коэффициент контингенции К.Пирсона.

Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:

.

Коэффициент контингенции:

,

где − числа в четырехклеточной таблице.

Коэффициент контингенции также изменяется от -1 до +1, но всегда его величина для тех же данных меньше коэффициента ассоциации.

Рассмотрим расчет этих показателей на конкретном примере.

Пример 6.2.

В результате обследования работников предприятия получены следующие данные (чел.):

Таблица 57

Образование	Удовлетворены своей работой	Не удовлетворены своей работой	Итого
Высшее и среднее профессиональное	300 (a)	50 (b)	350
Незаконченное среднее профессиональное	200 (c)	250 (d)	450
Итого	500	300	800

Требуется оценить тесноту связи между уровнем образования и удовлетворенностью своей работой с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

Решение.

1. Коэффициент ассоциации

.

2. Коэффициент контингенции

.

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.

При любой форме связи для измерения тесноты корреляционной связи применяются теоретическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации.

Рассмотрим расчет этих показателей.

Пример 6.3.

По восьми рабочим завода имеются следующие данные:

Таблица 58

Номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7	8
Стаж работы (лет)	1	3	4	2	5	7	8	9
Выработка одного рабочего в смену (шт.)	80	90	120	100	110	150	160	130

Определите:

1.Теоретическое корреляционное отношение.

2.Коэффициент детерминации

3.Сформулируйте выводы.

Решение.

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

,

где - вариация результативного признака под влиянием вариации признака-фактора,

- вариация результативного признака под влиянием всех факторов,

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1, чем ближе к 1, тем связь между признаками теснее.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака фактора и рассчитывается по формуле

.

1.Определим параметры уравнения регрессии (связь линейная)

,

,

.

Составим разработочную таблицу.

Таблица 59

1	80	1	80
3	90	9	270
4	120	16	480
2	100	4	200
5	110	25	550
7	150	49	1050
8	160	64	1280
9	130	81	1170
Итого 39	940	249	5080

;

.

Уравнение прямой примет следующий вид

.

Для определения теоретического корреляционного отношения и коэффициента детерминации построим таблицу:

Таблица 60

№ рабо- чего
1	1	80	84,76	-32,74	1071,91	-37,5	1406,25	-4,76	22,66
2	3	90	101,66	-15,84	250,91	-27,5	756,25	-11,66	135,96
3	4	120	110,11	-7,39	54,61	2,5	6,25	9,89	97,81
4	2	100	93,21	-24,29	590,0	-17,5	306,25	6,79	46,10
5	5	110	118,56	1,06	1,12	-7,5	56,25	-8,56	73,27
6	7	150	135,46	17,96	322,56	32,5	1056,25	14,54	211,41
7	8	160	143,91	26,41	697,49	42,5	1086,25	16,09	258,89
8	9	130	152,36	34,86	1215,22	12,5	156,25	-22,36	499,97
Итого	39	940	-	-	42,82	-	4830	-	1346,07

.

Теоретическое корреляционное отношение

.

Между стажем работы и выработкой тесная зависимость.

Коэффициент детерминации

.

Коэффициент детерминации показывает, что вариация результативного признака (выработки) на 87% происходит под влиянием вариации стажа работников, а на 13% под влиянием других факторов.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям:

Таблица 61

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровооруженность труда на одного работника, квт-ч	2	5	3	7	2	6	4	9	8	4
Выпуск годовой продукции на одного работника, млн. руб.	3	6	4	6	4	8	6	9	9	5

Определите:

1. Параметры теоретического уравнения регрессии (форма корреляционной связи прямая).

2. Линейный коэффициент корреляции.

3. Сделайте выводы.

Задача 2.

Имеются следующие данные обследования семей:

Таблица 62

№ семей	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Денежные доходы населения, тыс. руб.	2,6	3,0	3,8	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	7,0	8,0
Расходы на молоко и молочные продукты, тыс. руб.	0,3	0,4	0,4	0,6	0,7	0,9	1,0	1,5	2,0	2,5

Определите:

1. Параметры теоретического уравнения регрессии (форма корреляционной связи прямая).

2. Коэффициент эластичности расходов на молоко и молочные продукты от денежных доходов населения.

3. Линейный коэффициент корреляции.

4. Поясните экономический смысл рассчитанных показателей, сделайте выводы.

Задача 3. По результатам социологического обследования получены следующие данные:

Таблица 63

Удовлетворены работой	Мужчины	Женщины	Итого
Удовлетворены своей работой	270	80	350
Не удовлетворены своей работой	30	120	150
Итого	300	200	500

Определите коэффициенты ассоциации и контингенции между удовлетворенностью работой и полом. Сформулируйте выводы.