Тема 7. Выборочное наблюдение

Методические указания и решение типовых задач

Выборочное наблюдение − вид несплошного наблюдения, при котором характеристика всей совокупности (генеральной) дается по некоторой ее части (выборке), отобранной в случайном порядке.

Целью выборочного наблюдения является определение характеристик генеральной совокупности − генеральной средней и генеральной доли .

Показатели выборочной совокупности (выборочная средняя и выборочная доля отличаются от генеральных характеристик на величину ошибки выборки ( и ). Поэтому для определения характеристики генеральной совокупности необходимо вычислять ошибки выборки (репрезентативности), которые определяются по специальным формулам для каждого вида выборки и способа отбора.

Рассмотрим расчет ошибок выборки (средней и предельной) для каждого способа отбора.

Задача 7.1.

Для определения средней цены товара А в порядке случайной выборки было обследовано 100 торговых предприятий, в результате установлено, что средняя цена в выборке товара А составила 60 руб. при среднеквадратическом отклонении 4 руб. Установлено, что в выборочной совокупности 40 торговых предприятий реализуют импортные товары.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находится средняя цена товара А во всех торговых предприятиях, и долю предприятий, торгующих импортным товаром.

Решение.

Поскольку общая численность генеральной совокупности торговых предприятий не указана, расчет средней и предельной ошибок выборки можно провести по формулам:

средняя ошибка выборки

руб.,

предельная ошибка выборки

руб.

При вероятности исследования 0,954 коэффициент доверия (т.е. кратность ошибки выборки) равен 2.

Тогда пределы, в которых находится средняя цена товара во всей совокупности торговых предприятий, будут:

;

;

.

Таким образом, с вероятностью, равной 0,954 , можно утверждать, что цена товара А, продаваемого во всех торговых предприятиях, будет не менее 59 руб. 20 коп. и не превысит величину 60 руб. 80 коп.

Доля торговых предприятий, реализующих импортные товары, находится в пределах

− это выборочная доля, рассчитывается по формуле ,

m = 40, т.е. сорок предприятий реализуют импортные товары,

n=100 (число предприятий, подлежащее обследованию),

или 40%.

Средняя ошибка выборки для доли определяется по формуле

.

Предельная ошибка выборки для доли

или 10%.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля магазинов, торгующих импортными товарами во всей совокупности будет находится в пределах:

;

;

от 30% до 50%.

Задача 7.2.

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была проведена 10%-ная механическая выборка, в которую попало 200 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом 40 дней при среднеквадратическом отклонении 8 дней. В десяти счетах срок использования кредитом превышал 50 дней.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находится срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности, и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 50 дней.

Решение.

Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах

.

Рассчитаем ошибки выборки. Так как выборка механическая, то средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле

,

, т.к. была проведена 10% выборка.

Можно определить генеральную совокупность ( ), если:

счетов.

Отсюда:

.

Предельная ошибка выборки

или 1 день.

Построим доверительный интервал

;

;

.

Значит, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах от 39 дней до 41 дня.

Доля кредитов со сроком пользования более 50 дней находится в пределах

.

Выборочная доля составит:

, где (т.к. в десяти счетах срок пользования краткосрочным кредитом превышал 50 дней).

.

Средняя ошибка выборки:

.

Предельная ошибка выборки

или 3%.

Построим доверительный интервал

;

;

или .

Значит, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредитов в банке со сроком пользования более 50 дней будет находиться в пределах от 2% до 8%.

Если выборочная средняя и дисперсия не известны, то необходимо их рассчитать. Рассмотрим на конкретном примере.

Задача 7.3.

Для контроля качества поступившей партии товара произведена 5-процентная выборка, в результате которой получены следующие данные:

Таблица 64

Процент влажности	Число образцов
до 12	5
12-14	15
14-16	25
16-18	25
18-20	18
свыше 20	12
Итого	100

С вероятностью 0,997 установите возможные пределы среднего процента влажности для всей партии товара.

Решение.

1. Рассчитаем процент влажности, используя формулу арифметической взвешенной

,

где x − серединное значение интервала,

f − частота, т.е. число образцов.

Так как первый интервал открытый, вычислим нижнюю границу интервала (12-2)=10, где 2 – это величина последующего интервала (12-14), а для последнего интервала рассчитаем верхнюю границу (20+2)=22.

Расчеты оформим в таблице.

Таблица 65

x	f	xf
11	5	55
13	15	195
15	25	375
17	25	425
19	18	342
21	12	252
Итого	100	1644

%

2. Дисперсия рассчитывается по формуле

.

Построим разработочную таблицу.

Таблица 66

x	f
11	5	11-16,44=-5,44	29,59	29,59∙5=147,95
13	15	13-16,44=-3,44	11,83	11,83∙15=177,45
15	25	15-16,44=-1,44	2,07	2,07∙25=51,75
17	25	17-16,44=0,56	0,31	0,31∙25=7,75
19	18	19-16,44=2,56	6,55	6,55∙18=117,9
21	12	21-16,44=4,56	20,79	20,79∙12=249,48
Итого	100	-	-	752,28

..

3. Средняя ошибка выборки

.

4. Предельная ошибка выборки

; ;

так как вероятность исследования 0,997, то

.

5. Построим доверительный интервал

;

;

.

Значит, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний процент влажности товара во всей партии будет находиться в пределах от 15,63% до 17,25%.

Определение необходимой численности выборки

В практике проведения выборочного наблюдения возникает потребность в нахождении численности выборки.

При случайном повторном отборе численность выборки определяется по формуле

.

При случайном бесповторном и механическом отборе численность выборки определяется по формуле

.

Аналогично рассчитывается объем выборки и при определении доли, только вместо берется .

Рассмотрим расчет необходимой численности выборки.

Задача 7.4.

Определите численность рабочих, которую необходимо отобрать в выборочную совокупность с тем, чтобы при изучении их средней заработной платы предельная ошибка выборки не превышала 300 руб. с вероятностью 0,997, если по данным предыдущего обследования среднее квадратическое отклонение составило 700 руб.

Решение.

Поскольку способ отбора не указан, расчет следует проводить по формуле для повторного отбора

чел.

Задача 7.5.

В городе N проживает 100 тыс. чел. С помощью механической выборки определите долю населения со среднемесячными доходами до 5000 руб. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 2%, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?

Решение.

Определим необходимую численность выборки по формуле

.

чел.

Задача 7.6.

Исследуемая партия состоит из 5 тыс. деталей. Предполагается, что партия деталей содержит 8% бракованных. Определите необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 установить долю брака с погрешностью не более 2%.

Решение.

Определим необходимую численность выборки по формуле:

детали.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Произведено выборочное 5%-ное обследование качества партии поступающего товара. При механическом способе отбора в выборку взято 400 единиц, из которых 80 штук оказались нестандартными, средний вес одного изделия составил 12 кг, а среднеквадратическое отклонение ±0,3 кг.

Определите:

1. С вероятностью 0,954 пределы, в которых находится генеральная доля нестандартной продукции.

2. С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний вес одного изделия во всей партии товара.

Задача 2.

При изучении производительности труда работников торговли произведено 10%-ное выборочное обследование выполнения норм выработки кассирами-операционистами магазинов торговой ассоциации. В результате механического отбора получены следующие данные о распределении выборочной совокупности по выполнению норм выработки:

Таблица 67

Нормы выработки, %	до 100	100-110	110-120	120-130	свыше 130	Всего
Число кассиров, чел.	5	10	35	25	10	100

Определите:

1. С вероятностью 0,954 пределы значения доли кассиров, выполняющих нормы выработки.

2. С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится процент выполнения кассирами норм выработки.

Задача 3.

Для изучения стажа рабочих завода проведена 10% бесповторная выборка, в результате которой получены следующие данные о распределении рабочих по стажу:

Таблица 68

Стаж работы, лет	до 5	5-10	10-15	15-20	20-25	свыше 25	Всего
Число рабочих, чел.	5	10	35	25	15	10	100

Определите:

1. С вероятностью 0,954 границы удельного веса числа рабочих со стажем от 10 до 20 лет.

2. С вероятностью 0,997 границы среднего стажа работы рабочих всего завода.

Задача 4.

В выборах мэра примут участие около 1 млн. избирателей. Кандидат Р. будет выбран, если за него проголосуют более 50% избирателей. Накануне выборов проведен опрос случайно отобранных 1000 избирателей: 540 из них сказали, что будут голосовать за Р. Укажите, можно ли при уровне доверительной вероятности 0,954 утверждать, что Р. победит в выборах.

Задача 5.

В цехе завода 2000 рабочих. Для определения затрат на изготовление одной детали проведено выборочное обследование. Установлено, что среднее квадратическое отклонение затрат времени на изготовление составляет 10 минут.

Определите при случайном отборе, какое количество рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 2-х минут.

Задача 6.

Исследуемая партия состоит из 5 тыс. деталей. Предполагается, что партия деталей содержит 8% бракованных. Определите необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 установить долю брака с погрешностью не более 2%.