6.4. Частотні методи аналізу та синтезу аср.

Для виконання задач аналізу та синтезу АСР використовуються різні частотні характеристики.

Частотні характеристики розімкненої системи отримуються на основі виразу : , (6.27)

Підставляючи у вираз (6.27) передаточні функції регулятора і об’єкта при p=jω, отримують частотну характеристику розімкненої системи :

• для системи з П-регулятором :

(6.28)

В цьому і наступних прикладах приймається, що об’єкт є статичним, тобто із самовирівнюванням (рис.6.6).

Рис.6.6.Частотні характеристики системи з П-регулятором.

Як видно з виразу (6.28) при К_рег=1 частотна характеристика розімкненої системи W_роз(jω) відрізняється від частотної характеристики об’єкта лише розмірністю. При кожен вектор W_ок(jω) змінюється по довжині в К_рег разів, не змінюючи свого положення на комплексній площині;

• для систем з І-регулятором (рис.6.7) :

(6.29)

Цей вираз можна переписати так :

(6.30)

Таким чином, кожний вектор АФХ об’єкта повертається

на за годинниковою стрілкою

(в сторону відставання) та змінюється

по довжині в разів;

Рис.6.7.Частотні характеристики

АСР з І-регулятором.

• для системи з ПІ-регулятором (рис.6.8) :

(6.31)

0

Рис.6.8. Частотні характеристики системи з ПІ-регулятором.

Побудова W_роз(jω) виконується так :

• на АФХ об’єкта обирається кілька точок з частотами ω₁,ω₂,ω₃,ω₄... з відповідними векторами ОА₁, ОА₂, ОА₃, ОА₄...;

• до кожного вектора проводиться перпендикуляр;

• на кожному перпендикулярі відкладаються відрізки і отримують W_роз(jω) при К_рег=1;

• домножається кожний вектор на потрібний К_рег. Крім того, отримують сімейство W_роз(jω) при різних значеннях Т_і.

Необхідно відзначити, що W_роз(jω) безрозмірна. Дійсно, при ω=0 W_роз(jω)=К_регК_ок.

Маючи W_роз(jω), можна побудувати частотні характеристики замкненої системи :

• в ідносно зміни завдання (рис.6.9). Для цього використовується вираз: (6.32)

а)

б)

Рис.6.9.Частотні характеристики АСР: а) розімкненої, б) замкненої, відносно зміни завдання.

В чисельнику виразу (6.32) – вектор АФХ розімкненої системи, а в знаменнику – суми векторів : Z₁=W_роз(jω); Z₂=1+і0. Тоді значення W_зд(jω_і) на певній частоті ω_і знаходиться як результат ділення двох векторів, причому АЧХ :

(6.33)

а ФЧХ :

• відносно збурення (рис.6.10). Для отримання частотної характеристики замкненої системи використовують вираз :

(6.34)

Для побудови графіка АФХ замкненої АСР необхідно поділити вектор АФХ об’єкта за каналом збурення на вектор проведений з точки В (-1,j₀).

Рис.6.10.Частотні характеристики АСР, а) – розімкненої та об’єкта,

б) замкненої, відносно збурення.

Тоді АЧХ буде :

(6.35)

а ФЧХ : (6.36)

Необхідно відзначити, що значення вектора на різних годографах беруться на одинаковій частоті ω_і.

Однією із задач дослідження АСР є визначення умов її знаходження на межі стійкості, що відповідає критичним значенням настройок регулятора. Для системи з П-регулятором (рис.6.11) умовою знаходження АСР на межі стійкості є :

R^крит * К^крит_рег=1 (6.37)

де : R_крит – значення вектора АФХ об’єкта ; К^крит_рег – критичне значення коефіцієнта передачі регулятора. Ці значення оцінюються на частоті ω_π. Тоді :

(6.38)

Рис.6.11. Частотні характеристики АСР з П-регулятором.