7.2. Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною ланкою.

Якщо на вході лінійної стійкої ланки або системи діє стаціонарний випадковий сигнал, то на виході теж буде стаціонарний випадковий сигнал, але з іншими статистичними характеристиками – математичним сподіванням, дисперсією, кореляційною функцією та спектральною щільністю.

Вхідний та вихідний сигнали запишемо у вигляді

, (7.41)

(7.42)

З урахуванням принципу суперпозиції для лінійних систем, можна прийняти, що кожна складова визначається окремо: - за результатом перетворення , - за результатом перетворення . Тоді для оцінки можна використати рівняння статики:

(7.43)

Для оцінки змінної складової можна скористатись інтегралом згортки для моменту часу :

(7.44)

де: - вагова функція.

В подальшому будуть розглядатись лише центровані сигнали, то значок “ ” опускається.

Фур’є – перетворення вагової функції буде

(7.45)

Взаємна кореляційна функція сигналів з урахуванням (7.44) має вигляд

(7.46)

Інтегральне співвідношення (7.46) відоме як рівняння Вінера-Хопфа і співпадає за формою з інтегралом згортки (7.44), тому взаємну кореляційну функцію можна розглядати як реакцію системи на сигнал, який має кореляційну функцію .

Якщо на вхід ланки або системи поступає випадковий сигнал у вигляді білого шуму, то вираз для набуває виду:

, (7.47)

а дисперсія вихідного сигналу:

(7.48)

визначається інтегралом від квадрату вагової функції. Якщо сигнал відрізняється від білого шуму, то в рівняння (7.48) потрібно підставити вагову функцію еквівалентної ланки, яка включає формуючий фільтр, тобто елемент, що задає (формує) потрібні характеристики випадкового процесу.

При розв’язанні задач аналізу і синтезу зручно користуватись співвідношеннями між спектральними характеристиками вхідного і вихідного сигналів. Взаємна спектральна щільність сигналів і зв’язані однозначно, що випливає з виразу (7.29):

(7.49)

Підставляючи замість інтеграл Вінера-Хопфа (7.46), після перетворень отримують зручну залежність:

(7.50)

Це рівняння можна розв’язати відносно АФХ і отримати характеристики об’єкта за експериментальними реалізаціями сигналів і . Для цього спочатку обчислюють кореляційні функції і , а потім переходять до спектральних щільностей і , які підставляють у (7.50).

Спектральна щільність вихідного сигнала у відповідності з (7.22) буде:

(7.51)

Після перетворень отримують одну з найбільш важливих залежностей:

, (7.52)

яка має чіткий фізичний зміст: спектральна щільність вихідного сигналу дорівнює спектральній щільності вхідного, помноженому на квадрат амплітудно-частотної характеристики ланки (системи). Вираз (7.52) можна отримати і з таких фізичних уявлень: АЧХ при кожному значенні аргумента визначає відношення амплітуд гармонік вхідного і вихідного сигналів, а спектральні щільності і при фіксованих значеннях дорівнюють квадратам відносних амплітуд гармонік.

З урахуваннням (7.21) можна записати ще один важливий вираз:

(7.53)

Співвідношення (7.52) є основою для введення поняття формуючого фільтра – динамічної ланки, яка перетворює вхідний сигнал у вигляді білого шуму в вихідний із заданими статистичними характеристиками. Приймаючи інтенсивність білого шуму при всіх значеннях частоти , спектральна щільність сигналу на виході формуючого фільтра буде:

, (7.54)

тобто для отримання на виході фільтра випадкового сигналу з бажаною функцією необхідно, щоб квадрат АЧХ фільтра дорівнював спектральній щільності сигналу, який формується з білого шуму. Послідовне з’єднання формуючого фільтра та досліджуваної ланки – еквівалентна ланка:

(7.55)

Метод формуючого фільтра полягає в тому, що при статистичному аналізі систем керування перед досліджуваною ланкою або системою включають формуючий фільтр з амплітудно-фазовою характеристикою, яка відповідає спектральним властивостям реального вхідного сигналу , а характеристики вихідного сигналу визначають при подачі на вхід еквівалентної ланки чи системи білого шуму. Такий перехід від дослідження реальної ланки до дослідження еквівалентної спрощує задачу аналізу. Наприклад, для визначення дисперсії вихідного сигналу досліджуваної ланки достатньо отримати вагову функцію еквівалентної ланки, тоді з урахуванням (7.48):

, (7.56)

або на основі (7.53):

(7.57)