Для систем з і-регулятором (рис.6.12) необхідно враховувати, що кожен вектор афх об’єкта повертається на -900, а довжина змінюється в разів.

Тоді значення знаходять

з виразу :

(6.39)

(6.40)

Рис.6.12. Частотні характеристики

АСР з І-регулятором.

Цей вираз ще раз показує, що І-регулятор може працювати лише з об’єктом із самовирівнюванням. Якщо об’єкт астатичний, то АФХ системи буде охоплювати точку з координатами (–1;j₀) при будь-якому значенні , тому що мінімальний зсув фаз в такій системі при частоті ω=0 буде –180⁰.

Для системи з ПІ-регулятором будується сімейство АФХ розімкненої системи (рис.6.8) при К_рег = 1 та різних значеннях Т_і. З виразу (6.37) визначається критичне значення К^крит_рег. В цьому випадку R^крит – відрізки, які відсікаються на дійсні від’ємні напівосі сімейства АФХ W_роз(jω). За цими даними будують область стійкості (рис.6.13).

Рис.6.13. Область стійкості АСР з ПІ-регулятором.

Для ПІД-регуляторів на площині параметрів настройки К_рег – Т_і будують сімейство кривих для різних значень відношення Т_д/Т_і=const (рис.6.14).

Т_д/Т_і=const

Рис.6.14.Область стійкості АСР

з ПІ-регулятором.

Якщо частотні характеристики об’єкта задані аналітичними виразами,то при відомих АФХ регуляторів умовою знаходження АСР на межі стійкості є вираз :

(6.41)

який розпадається на два :

(6.42)

Амплітудно-фазові характеристики об’єкта і регулятора записують в такій формі :

(6.43)

(6.44)

Тоді настройки регулятора з урахуванням (6.42) можна знайти в явному вигляді :

(6.45)

(6.46)

де : К_ок – коефіцієнт передачі об’єкта по каналу керування, Т₁,Т_2... – постійні часу об’єкта, τ_зп – час запізнювання.

Користуючись частотними характеристиках, можна отримати також параметри системи, які забезпечують заданий запас стійкості за модулями і фазою (рис.6.15).

Рис.6.15. Визначення запасу стійкості АСР.

Якщо на фазовій площині нанести коло радіусом r=1, то можна визначити :

• запас стійкості по модулю С, який показує, на скільки повинен змінитись модуль W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості;

• запас стійкості по фазі – кут , який показує, на скільки повинен змінитись зсув по фазі в розімкненій системі при існуючому модулі W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості.Запас стійкості безпосередньо зв’язаний з величиною максимума АЧХ замкненої системи (рис.6.16) відносно зміни завдання :

(6.47)

Рис.6.16. АЧХ замкненої сисеми.

В залежності від розташування W_роз(jω) на комплексній площині змінюється вид АЧХ. При ω=0 W_роз(jω)→∞, ОА=ВА, А_зд(0)=1. При збільшенні частоти т.А переміщується угору, тоді можливі такі випадки:

• якщо W_роз(jω) знаходиться достатньо далеко від точки В(-1; j₀), то відрізок ВА буде завжди більшим відрізка ОА. При ω→∞ ВА=1, ОА→0, А_зд(ω) →0 (рис.6.16, крива 1);

• якщо W_роз(jω) проходить достатньо близько від т.В(-1; j₀), то відрізок ВА при низьких частотах <ОА, тому в діапазоні частот [ω=0, _рез] А_зд(ω) зростає до максимуму. При ω→∞ ОА→0, ВА=1, А_зд(ω) →0 (рис.6.16,крива 2).Чим ближче W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим більший максимум А_зд(ω);

• якщо W_роз(jω) проходить через точку В(-1; j₀), то max А_зд(ω) →∞, ВА→0 (крива 3,рис.6.16).

  Таким чином, чим більший max А_зд(ω), тим ближче годограф W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим менший запас стійкості. Для забезпечення необхідного запасу стійкості W_роз(jω) повинна розташовуватись на певній відстані від точки В(-1; j₀), тобто не повинно перевищуватись деяке значення відношення :

(6.48)

де : М – показник коливальності

(6.49)