ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул. Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям.

2. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочленов на множители. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

3.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональностей.

4.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Интегрируемость кусочнонепрерывной функции (без доказательства). Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

5.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по верхнему пределу. Существование первообразной непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

6. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, длин кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения). Механические приложения определенного интеграла (вычисление работы силы, статических моментов и центра тяжести кривой).

7.Несобственные интегралы от неограниченных функций и с бесконечными пределами. Теоремы сравнения. Абсолютная и условная сходимости.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

2.Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция и условия ее существования (без доказательства). Производная по направлению, градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.

3.Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия (без доказательства). Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

1. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение дифференциального уравнения, интегральные кривые. Уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства). Частное и общее решения. Понятие особого решения. Примеры.

2.Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого рода. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

3. Дифференциальные		уравнения	второго	порядка.	Теорема
существования	и	единственности	решения	задачи	Коши (без

доказательства). Понятие общего и частного решений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах.

4.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства дифференциального оператора. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

5.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

6.Обобщение на уравнения n-го порядка (задача Коши и формулировка теоремы существования и единственности ее решения, понятие общего и частного решений; линейные уравнения и свойства их решений,

метод Лагранжа, линейные уравнения	с	постоянными
коэффициентами).

7.Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Задача Коши для нормальной системы. Теорема существования и единственности (без доказательства). Сведение системы к одному уравнению. Сведение дифференциального уравнения произвольного порядка к нормальной системе уравнений.

8. Элементы теории устойчивости. Непрерывная зависимость решений от начальных условий. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.