Постоянные с1 и с2 найдем, используя краевые условия. Имеем

и, далее,

Таким образом,

откуда получим систему уравнений

решая которую, находим Значит, решение исход­ного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям, имеет вид

718. Найти решение уравнения удов­летворяющее начальным условиям

Δ Характеристическое уравнение имеет корни и общее решение соответствующего однородного уравнения Частное решение данного неоднородного уравне­ния будем искать в виде Тогда

Отсюда и общее решение исходного уравнения таково:

.

Постоянные C₁ и С₂ найдем, используя начальные условия. Имеем

и, далее, откуда С₁=0, С₂=4. Итак, решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

▲

719. Найти решение уравнения удовлетворяющее краевым условиям

Д Характеристическое уравнение имеет корни а по­тому общее решение однородного уравнения Частное ре­шение исходного уравнения- методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(х), в отличие от предыдущего, имеет другую структуру), а потому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде

где функции С₁ (х) и С₂ (х) нужно найти из системы уравнений

Решая эту систему, получаем откуда

(Вместо решения этой системы можно было воспользоваться формулами, при­веденными на с. 152.)

Таким образом, общее решение исходного уравнения

где A и В—произвольные постоянные, которые нужно определить из краевых условий:

Отсюда Следовательно, решение, удовлетворяющее по­ставленным краевым условиям, имеет вид

▲

720. Свободно висящая на крюке однородная цепь соскаль­зывает с него под действием силы тяжести (трением можно пре­небречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся цепь, если в начальный момент цепь покоилась, а длина цепи с одной стороны крюка была равна 10 м, с другой 8 м.

Δ Пусть масса одного погонного метра цепи равна т. Обозначим через х длину большей части цепи, свешивающейся с крюка через время t после на­чала движения. К центру тяжести цепи приложена сила Масса всей цепи равна 18m, ее ускорение равно Итак, приходим к урав­нению движения центра тяжести цепи:

или

Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях: x=10, x=0 при t=0.

Корни характеристического уравнения частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде u=A; после подстановки в уравнение находим A=9. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

Используя начальные условия, получим

откуда С₁=С₂=0,5. Значит,

Время, за которое соскользнет вся цепь, определится из условия: x =18 мпри t=T. Следовательно,

или

Решая полученное уравнение относительно T, находим

▲

Решить уравнения:

721.

722.

723.

724.

725.

726.

727.

728.

729.

730.

731.

732.

733.

734.

735.

736.

737.

738.

739.

740. Показать, что общее решение дифференциального урав­нения можно представить в виде .

741. Показать, что общее решение дифференциального урав­нения можно представить в виде

742. Определить закон движения материальной точки массы от, перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо про­порциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопро­тивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила

Решить уравнения методом вариации произвольных постоян­ных:

743. 744.

745. 746.

747. Решить задачу 720 с учетом трения цепи о крюк, если сила трения равна весу одного погонного метра цепи.

● Уравнение движения центра тяжести цепи имеет вид

5. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффициента­ми вида

(1)

или более общего вида

(2)

называется уравнением Эйлера. Здесь а_i—постоянные коэффициенты. С по­мощью подстановок для уравнения (1) и для уравнения (2) оба эти уравнения преобразуются в линейные уравнения с постоянными коэф­фициентами.

748. Решить уравнение

Δ Полагая , или откуда получим

(дифференцирование по t обозначаем точками). Тогда исходное уравнение примет вид

Характеристическое уравнение имеет корни Следо­вательно, общее решение

. ▲

749. Решить уравнение

Δ Положим тогда Отсюда

Исходное уравнение принимает вид

или

Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, общее решение

или ▲

750. Решить уравнение

Δ Положим ; тогда следовательно, Данное уравнение примет вид

Общее решение однородного уравнения есть а частное реше­ние неоднородного уравнения следует искать в виде Тогда

откуда Следовательно, общее решение исходного уравнения

или ▲

Решить уравнения:

751.

752.

753.

754.

755.