§ 5. Системы дифференциальных уравнений

1. Нормальная система дифференциальных уравнений. Система дифферен­циальных уравнении вида

где —неизвестные функции независимой переменной t, назы­вается нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система диф­ференциальных уравнений называется линейной.

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неиз­вестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так назы­ваемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.

775. Решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях х (0) = 2, у (0) = 0.

Δ Продифференцируем по t первое уравнение: исклю­чая из полученного уравнения и у, имеем Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, общее решение для х запишется в виде

Общее решение для у находим из первого уравнения:

Воспользуемся начальными условиями для нахождэния произвольных по­стоянных:

Отсюда Таким образом, искомое частное решение имеет вид

▲