3.5.3. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини

Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її

проекцією на площину (рис.3.15). Нехай пряма задана канонічним рівнянням

а площина - загальним рівнянням

.

Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою  і площиною  дорівнює  де це кут між  

      Рис. 3.15      векторами  і  Тоді  і

      

Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою

        (3.33)

     Пряма  паралельна площині  якщо вектори  і  перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд

            (3.34)

     Пряма  перпендикулярна площині  якщо вектори  і  колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так

 (3.35)

     Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими

  і .

     Р о з в ‘ я з о к. Візьмемо на прямій  точку  і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки  на пряму  Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд  Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв’язавши систему рівнянь

Дану систему рівнянь найкраще розв’язувати, записавши рівняння прямої  в параметричній формі

    Тому    Отже,  Віддаль між двома прямими  і  дорівнює довжині відрізка , тобто

     Приклад 2. Знайти проекцію точки  на площину

     Р о з в ‘ я з о к. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку  перпендикулярно до заданої площини , і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі розв’яжемо систему рівнянь

Отже, проекція точки  на задану площину має координати 

_{20.Канонічне рівняння еліпса.Ексцентриситет та директриса еліпса}

Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами.

, 2а > 2с.

Визначення. Фокусами називаються такі дві точки, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса є величина стала.

у

М

r₁ r₂ x

F₁ о F₂ х

F₁, F₂ – фокуси, F₁ = (−c; 0); F₂(c; 0)

− велика вісь еліпса, ; ;

− мала вісь еліпса, ; ;

с − половина відстані між фокусами;

a − велика піввісь;

b − мала піввісь.

− канонічне рівняння еліпса

Теорема. Фокусна відстань і півосі еліпса зв'язані співвідношенням:

a² = b² + c².

Доведення.

У випадку, якщо точка М перебуває на перетині еліпса з верти-кальною віссю, r₁ + r₂ = 2 (за теоремою Пифагора). У випадку, якщо точка М знаходиться на перетині еліпса з горизонтальною віссю,

r₁ + r₂ = a – c + a + c.

Так, як по визначенню сума r₁ + r₂ – постійна величина, тобто прирівнюючи, одержуємо:

a² = b² + c² , r₁ + r₂ = 2a.

Визначення. Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною ε, яка називається ексцентриситетом еліпса і дорівнює відношенню половини фокальної відстані до довжини більшої півосі

ε = так як с < a, то ε < 1.

Визначення. Величина k = називається коефіцієнтом стиску еліпса, а величина 1 – k = називається стиском еліпса.

Коефіцієнт стиску і ексцентриситет зв'язані співвідношенням: k² = 1 – ε ².

Якщо a = b ( c = 0, ε = 0, фокуси зливаються ), то еліпс перетворюється в коло.

Якщо для точки М(х₁, у₁) виконується умова: , то вона перебуває у середині еліпса, а якщо , то точка перебуває поза еліпсом.

З еліпсом зв'язані дві прямі, які називаються директрисами. Їх рівняння:

x = і x = – .

Теорема. Для довільної точки М(х, у), що належить еліпсу правельні спів-відношення:

r₁ = a – εx, r₂ = a + εx.

Доведення.

Раніше було показано, що r₁ + r₂ = 2a. Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

.

Після піднесення до квадрату і зведенні подібних доданків:

;

;

Аналогічно доводиться, що r₂ = a + εx. Теорема доведена.

Теорема. Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса.

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно й достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету ε.

Приклад.

Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

Розв’язування.

1).Координати нижньої вершини: x = 0; y² = 16; y = −4.

2). Координати лівого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(−3; 0).

3). Рівняння прямої, що проходить через двіточки:

.

Приклад.

Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F₁(0; 0), F₂(1; 1), більша вісь

дорівнює 2.

Розв’язування.

Рівняння еліпса має вигляд: .

Відстань між фокусами: 2c = , таким чином, a² – b² = c² =

за умовою 2а = 2, отже а = 1, b = .

Разом: .

Рівняння еліпса має такі властивості:

1. Коефіцієнти при х і у різні.

2. У рівнянні відсутній доданок здобутком ху.

Зауваження. Для зведення рівняння вигляду Ах² + Ву² + Сх + Dy + F = 0

до канонічного рівняння треба мати на увазі слідуюче:

а) якщо коефіцієнти А та В одного знаку і рівні, то це буде рівняння кола;

б) якщо А та В одного знаку, але не рівні, то це буде рівняння еліпса.

Приклад.

Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

Розв’язування.

1). Координати нижньої вершини: x = 0; y² = 16; y = −4.

2). Координати лівого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(−3; 0).

3). Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

.

21.Канонічне рівняння гіперболи,її ексцентриситет та асимптоти

Визначення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок ( фокусів ) є величина постійна, менша відстані між фокусами.

, 2а < 2с.

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F −a а F

−b

c

По визначенню r₁ – r₂= 2a.

F₁, F₂ – фокуси гіперболи, F₁F₂ = 2c.

Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у), точки і − вершини гіперболи.

Тоді:

позначимо с² – а² = b² (геометрично ця величина – менша піввісь)

− канонічне рівняння гіперболи. (1)

Властивості гіперболи.

1). Гіпербола симетрична відносно осей координат і відносно початку відліку.

2). Гіпербола не перетинає вісь Оу.

3). Віддаляючись у нескінченність, змінна точка М( х; у ) гіперболи необмежено наближається до прямої , така пряма називається асимптотою гіперболи.

Гіпербола має дві асимптоти .

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи.

Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

a і b − дійсна і уявна півосі.

Основний прямокутник − це прямокутник із сторонами 2а і 2b.

При побудові гіперболи доцільно спочатку побудувати основний прямокутник, провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника − аси-мптоти гіперболи і визначити вершини гіперболи точки і .

Визначення. Відношення називається ексцентриситетом гіперболи, де с – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

З урахуванням того, що с² – а² = b²:

;

.

Якщо а = b, ε = , то гіпербола називається равнобічною ( рівносто-ронньою ), її канонічне рівняння має вигляд , основним прямокутником рівносторонньої гіперболи є квадрат із стороною 2а, а її асимптоти бісектриси координатних кутів.

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні дійсної осі гіперболи й розташовані симетрично щодо центра на відстані a/ε від нього, називаються директрисами гіперболи.

Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r - відстань від довільної точки М гіперболи до будь-якого з фокусів, d - відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d - величина постійна і дорівнює ексцентриситету,

.

Рівняння також визначає гіперболу, яка називається спряженою до гіперболи (1). Вершини спряженої гіперболи лежать в точках і ,

а її асимптоти збігаються з асимптотами гіперболи (1).

Приклад.

Знайти рівняння гіперболи, вершини й фокуси якої перебувають у відповідних вершинах і фокусах еліпса .

Розв’язування.

Для еліпса: c² = a² – b².

Для гіперболи: c² = a² + b².

у у

х х

Рівняння гіперболи: .

Приклад.

Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси збігаються з фокусами еліпса з рівнянням

Розв’язування.

Знаходимо фокусну відстань c² = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c² = a² + b² = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Разом: − шукане рівняння гіперболи.

Приклад.

Встановити, що рівняння визначає гіперболу. Знайти її центр і півосі.

Розв’язування.

Виділемо повні квадрати відносно х та у:

;

;

;

;

.

Врахувавши формули паралельного переносу, дійдемо висновку, що задане рівняння визначає гіперболу з центром у точці і півосями а = 3, b = 4.

22.Канонічне рівняння параболи.Параметр та директриса параболи

Визначення. Параболою називається множина всіх точок площини кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається фокусом, і від даної прямої, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Знайдемо рівняння параболи. Нехай на площині задані фокус F і директриса, причому відстань фокуса від директриси дорівнює р. Візьмемо

прямокутну систему координат Оху так, щоб вісь Ох проходила через фокус, перпендикулярно до директриси, а вісь Оу ділила відстань між фокусом F і директрисою навпіл. Тоді фокус має координати F(p/2; 0), а рівняння директриси має вигляд х = – р/2. Нехай М(х; у) – довільна точка площини, а відрізки МВ і MF – відстані цієї точки від директриси і фокуса ( МВ = d,

МF =r).Точка М тоді лежить на параболі, коли МВ = МF або

Це і є рівняння параболи. Щоб спростити його, піднесемо обидві частини рівності до квадрата:

х² – рх + тобто

у² = 2рх (1)

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням параболи. Отже, парабола є лінія другого порядку.

Дослідимо форму параболи. Оскільки рівняння (1) мстить змінну у в парному степені, то парабола симетрична відносно осі Ох. Тому достатньо розглянути лише ту її частину, яка лежить у верхній півплощини. Для цієї частини у ≥ 0, тому з рівняння (1) дістанем

у = (2)

З цієї рівності випливає, що парабола розміщена справа від осі Оу, тому що при х < 0 вираз (2) не має змісту. Значення х = 0, у = 0 задоволняють рівняння (2), тобто парабола проходить через початок координат. Із зростанням х значення у також зростає. Отже, змінна точка М(х; у) параболи, виходячи з початку координат із зростанням х, рухається по ній вправо і вверх.

Виконавши симетричне відображення розглянутої частини параболи відносно осі Ох, матимемо всю параболу.

Вісь симетрії параболи називається її віссю, точка перетину осі з параболою – вершиною параболи; число, яке дорівнює відстані фокуса від директриси, – параметром параболи. Віссю параболи, заданої рівнянням (1), є вісь Ох, вершиною – точка О(0; 0), параметром – число р, фокальним радіусом точки

М(х; у) є рівність r = х + р/2. Ексцентриситет параболи ε = r/d, ε = 1, ( це відношення фокального радіуса МF = r до директриси МВ = d ).

З’ясуємо вплив параметра р на форму параболи. Якщо в рівнянні (1) покласти , то відповідні значення ординати у = ± р, тобто маємо на

параболі дві симетричні відносно осі Ох точки і . Відстань між цими точками дорівнює 2р і збільшується із збільшенням р. Отже, параметр р характеризує « ширину » області, яку обмежує парабола.

Рівняння параболи, симетричної щодо осі Оу з вершиною у початку координат, має вигляд х² = 2х у:

фокус − F(0; р/2);

директриса – у = – р/2;

фокальний радіус точки М – r = у + р/2 (р > 0).

Паралельне перенесення параболи.

Рівняння параболи з вершиною у точці С(х0; у0) має вигляд:

( у – у0 )² =± 2 р( х– х0 ) або ( х – х0 )² = ± 2 р( у – у0 ).

Рівняння у² = – 2рх, х² = 2ру, х² = – 2ру, ( у – у0 )² = 2 р( х – х0 ), у яких параметр р > 0 визначають параболи, зображені на рисунку:

у

х = р/2 у

х² = 2ру

F F

0 х

0 х

у²=–2рх

у = – р/2

у у x = p/2

y= p/2 (y –y0)² = 2p(x – x0)

0

y0 F

F

x² = – 2py

0 x0 х

Зауваження. Для зведення рівняння вигляду Ах² + Ву² + Сх + Dу + F = 0 до канонічного рівняння треба мати на увазі слідуюче, якщо А = 0 або В = 0, то це буде рівняння параболи.

Приклад .

Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, яка симетрична відносно осі Оу і відтинає бісектрисі першого і третього координатних кутів хорду довжиною

Розв’язування.

Шукане рівняння параболи х² = 2ру; рівняння бісектриси у =z. Точками перетину параболи і даної бісектриси є О(0; 0) і М(2р; 2р).

Довжина хорди є відстанню між точками О і М, а тому, звідки 2р = 8. Отже, рівняння параболи має вигляд х² = 8у.

Приклад.

На параболі у² = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

Розв’язування.

З рівняння параболи одержуємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; отже:

x = 2; y² = 16; y = 4. Шукані точки: M₁(2; 4), M₂(2; −4).

Приклад.

Встановити, що дане рівняння визначає параболу,знайти координати її вершини і величину параметра р:

Розв’язування.

4 х² – 8х – у + 7 = 0; х² – 2х – 1/4у +7/4 =0; х² – 2х + 1 – 1 – 1/4у + 7/4 = 0;

( х² – 2х + 1 ) = 1/4у – 3/4; ( х – 1 )² = 2∙ 1/8( у – 3 );

( 1; 3 ) – координати вершини параболи, р = 1/8.

23.Коло.Загальне та канонічне рівняння кола.Визначення центра кола.

(x – a)² + (y – b)² = R² – рівняння кола.

у

М(х; у)

О1(а;b)

0 х

Визначення. Колом називають множину точок площини, відстані яких від заданої точки площини ( центра кола ) дорівнюють сталому числу ( радіусу ).

Щоб вивести рівняння кола, використаємо прямокутну систему координат

Оху; позначимо через О1 ( а; b ) – центр кола, через М ( х; у ) – довільну точку площини і через R – радіус кола.

Точка М лежить на колі тоді і лише тоді, коли О1М = R або

(1)

Рівняння (1) і є шуканим рівнянням кола. Але зручніше користуватись рів-

нянням, яке дістанемо при піднесені обох частин рівняння (1) до квадрата:

(х – а )² + ( у – b )² = R². (2)

Якщо центр кола міститься в початку координат, то а = b = 0 і рівняння (2)

набирає вигляду

х² + у² = R² (3)

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням кола. Якщо в рівнянні (2) роз-

крити дужки, то дістанемо загальне рівняння кола.

х² + у² +Ах + Ву +С = 0, (4)

де А = – 2а, В = – 2b, С = а² + b² – R². Отже, коло – лінія другого порядку.

Рівняння кола має такі властивості.

1. Коефіцієнти при х² і у² рівні між собою.

2. У рівнянні відсутній доданок з добутком ху.

Обернене твердження неправильне: не всяке рівняння другого степеня, яке

задовольняє умови 1 і 2, є рівнянням кола, тобто не всяке рівняння виду (4)

визначає коло.

Приклад.

Знайти координати центра і радіус кола, якщо його рівняння задане у вигляді:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для знаходження координат центра і радіуса кола дане рівняння необхідно привести до виду(2). Для цього виділимо повні квадрати:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Звідси знаходимо О(2; −5/4); R = 11/4.