24.Функція,способи задання,область визначення та область значень.Елементарні функції та її графіки.

Функцією називають залежність або відповідність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х із деякої множини відповідає значення змінної у із другої множини і лише одне.

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у – залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна х. Область визначення позначають великою латинською літерою D.

Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна у, якщо х належить області визначення. Область значень позначають великою латинською літерою Е.

Функцію можна задавати:

аналітично (коли функція задається формулами);

табличним способом – при цьому в таблиці надаються значення змінної х і відповідні їм значення у;

описовим способом – коли функція задається словесним описом;

графічно – коли функція задається її графік

Існують такі елементарні функці:

-степенева

-показникова

-логарифмічна

- тригонометрична

-обернено тригонометрична

-гіперболічна

-Обернено гіперболічна

1. Означення показникової функції.

Означення. Функція виду де a0, а≠1, яка містить у показнику аргумент х,

називається показниковою за основою а.

Наведемо приклади показникових функцій:

Завдання. 1) Які з поданих функцій є показниковими:

?

2) На прикладах і поясніть чим відрізняється показникова

функція від степеневої.

3) Наведіть приклади показникових функцій.

4) Знайдіть значення функції , якщо х=2; х=-2; х=0.

2. Задачі, які приводять до поняття показникової функції.

Нині багато говорять про інформаційний бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес у вигляді графіка деякої функції.

Візьмемо обсяг інформації в деякий початковий рік за 1. Удвічі більший відрізок поставимо над одиничною оцінкою, вважаючи, що оцінка відповідає першому десятку років. Удвічі більший відрізок відповідає другому десятку років, ще вдвічі більший – третьому і т.д. Обране нами значення аргументу є елементами арифметичної прогресії:

2, 4, 8, … Сполучимо всі побудовані точки плавною лінією – перед нами графік показникової функції. Головна особливість графіка цієї функції – її крутизна.

Показникова функція зустрічається в описі процесів, у яких швидкість зміни величини пропорційна до самої величини. За таким правилом розмножується все живе, збільшується колонія мікробів у чашці Петрі. За таким саме законом плодилися кролі, які за короткий термін заполонили Австралію. Прикладом показникового спадання є хід хімічної реакції: швидкість хімічної реакції пропорційно до кількості речовин, що реагують. Швидкість радіоактивного розпаду також пропорційна до кількості атомів, що не розпалися.

Зупинемося на радіоактивному розпаді, який описується рівнянням

, де m – маса речовини в момент часу t;

- маса речовини в момент часу t=0; T – період напіврозпаду.

Задача. Обчислити, яка частина радія залишиться через 1000 років, якщо період його полу

розпаду дорівнює 1550 років.

Розв’язання.

За законом радіоактивного розпаду маємо:

; .

Відповідь: 0,7.