Інтегрування раціональних дробів

Відношення двох многочленів і відповідно m-го і n-го степеня називається дробно-раціональною функцією або раціональним дробом.

Раціональний дріб називається правильним, якщо . Якщо ж , то раціональний дріб називається неправильним. В цьому випадку розділивши на одержимо:

(1.10)

де і - многочлени відповідно m-n-го та k- го степенів, причому , тобто дріб - правильний.

Знаменник розкладається на добуток лінійних і квадратних множників, перші з яких лінійні відповідають дійсним кореням , а другі (квадратні) – комплексно спряженим кореням . Кратні корені характеризуються відповідними степенями цих множників.

Елементарними раціональними дробами називаються такі правильні раціональні дроби.

а) ; б) ; ; в) ; г) ;

де А, а, М, N, p, q – дійсні числа, а тричлен не має дійсних коренів.

Отже, правильний раціональний дріб, у якого тобто має дійсний корінь кратності і два комплексно спряжені корені кратності , розкладається на суму елементарних дробів так:

(1.11)

Якщо має більше дійсних і комплексно-спряжених коренів, то розклад (1.11) відповідно розширюється.

Нехай потрібно знайти інтеграл

(1.12)

Згідно з (1.10) інтеграл виду (1.12) запишеться так

(1.13)

Інтеграл від многочлена обчислюється за табличним інтегралом 1, а інтеграл від правильного дробу, згідно з (1.11) зводиться до обчислення інтегралів від елементарних раціональних дробів.

Розглянемо ці інтеграли. Скористаємось наведеними вище перетвореннями диференціала і табличними інтегралами 2 і 1. Тоді для елементарних дробів а) і б) будемо мати:

І. ;

ІІ. ;

ІІІ. Обчислення інтеграла від елементарного дробу в) базується на виділенні у знаменнику дробу ( в квадратному тричлені) повного квадрату, тобто

В результаті одержимо:

^(1.14)

Далі можливі такі випадки: якщо т=0, тоді при інтеграл зводиться до інтегралу 11, а при - до інтегралу 12. Якщо ж , тоді інтеграл (1.14) зводиться до інтегралів 13 і 11, або до інтегралів 13 і 12. Як це робиться , покажемо на конкретних прикладах.

Приклад 1.

Приклад 2.

;

Приклад 3.

Приклад 4.

Зауваження. Перетворення, які були зроблені у чисельниках прикладів 3, 4 пов’язані із виділенням у них похідних або диференціалів знаменників та зведенням їх до інтеграла 13.

IV. Інтеграл виду:

де

підстановкою зводиться до суми двох інтегралів

, де ;

Перший із цих інтегралів обчислюється згідно з інтегралом 1, а другий за рекурентною формулою.

(1.15)

Приклад.

=

.

Питання інтегрування неправильного раціонального дробу розглянемо на такому прикладі:

Виділимо цілу частину дробу

= .

Розкладемо правильний дріб на елементарні і зведемо вираз до спільного знаменника. .

Прирівняємо коефіцієнти при невідомих і розв’яжемо систему рівнянь.

В результаті:

= .

46.Інтегрування ірраціональних функцій

Функція називається раціональною від змінних , якщо над цими змінними і дійсними числами виконується скінчене число операцій додавання, віднімання, множення і ділення. Змінні можуть бути і функціями. Наприклад, функція є раціональною функцією відносно функції , тобто

.

Розглянемо способи інтегрування таких функцій.

1. Інтеграл раціоналізується підстановкою .

Звідси . Отже

Приклад. Знайти інтеграл.

=

=

2. Інтеграл більш загального виду

раціоналізується підстановкою .

Звідси , , або . Отже

.

Приклад. Знайти інтеграл.

+ .

3. Інтеграл виду знаходиться підстановкою ,

; . В залежності від значень a,b,c, він зводиться до одного із табличних інтегралів 9 або 10.

Приклад. Знайти інтеграл.

=

=

47.Інтегрування тригонометричних функцій

Важливе значення у прикладних питаннях деяких природничих наук мають інтеграли.

(1.16)

де m і n цілі невід’ємні числа.

Тут можливі такі випадки:

а) хоча б один із показників m або n непарне число. В цьому випадку інтеграл (1.16) знаходиться підстановкою , якщо n-непарне, і підстановкою , якщо m-непарне. Якщо ж m і n обидва непарні, то можна брати будь-яку з цих підстановок.

Приклад. Знайти інтеграл.

= .

б) обидва показники m і n парні числа. В цьому випадку інтеграл (1.16) береться за допомогою тригонометричних тотожностей пониження степеня, а саме, формул подвійного аргументу:

, ,

Приклад. Знайти інтеграл.

.

В теорії рядів Фур’є важливу роль відіграють інтеграли виду:

(1.17)

Всі ці інтеграли обчислюються на основі наступних тригонометричних формул:

,

.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

48.Диференціальні рівняння основні поняття та означення.

Рішення різних геометричних, фізичних і інженерних задач часто приводять до рівнянь, які зв'язують незалежні змінні, з будь-якою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків.

Як приклад можна розглянути найпростіший випадок рівноприскоренного руху матеріальної точки.

Відомо, що переміщення матеріальної точки рівноприскоренного руху є функцією часу і виражається формулою:

.

У свою чергу прискорення a є похідною за часом t від швидкості V , що також є похідною за часом t від переміщення S . Тобто

Тоді одержуємо: − рівняння зв'язує функцію f(t) з незалежною змінною t і похідною другого порядку функції f(t).

Визначення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні, їхні функції і похідні (або диференціали) цієї функції.

Визначення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням.

Це означення в загальному вигляді математично можна записати так

F( х, у, у', у'', ..., уⁿ ) = 0. якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння нази-вається диференціальним рівнянням у частинних похідних.

Приклад.

− звичайне диференціальне рівняння 1 – го порядку.

У загальному виді записується .

− звичайне диференціальне рівняння 2 – го порядку.

У загальному виді записується .

− диференціальне рівняння в частинних похідних першого порядку.

Визначення. Найвищий порядок похідної, що містить диференціальне рівня-ння, називають порядком диференціального рівняння.

Наприклад:

рівняння ху' – 3у'' = 2cos x – другого порядку;

рівняння у''' – х² у' = 0 – третього порядку.

Визначення. Загальним розв'язком диференціального рівняння n – го поряд-ку називають функцію у, яка залежить від аргументу х та n довільних сталих С1, С2, ... , Сn, тобто має вигляд

у = q ( x, C1, C2, … , Cn ),

яка, при її підстановці в рівняння, перетворює рівняння в тотожність.

Найчастіше сталі С1, С2, ... , Сn обирають не довільно, а так, щоб розв'язок рівняння задовольняв деяким початковим умовам. Для знаходження n довіль-них сталих треба задати n початкових умов.

Процес знаходження розв'язків диференціального рівняння називають інте-груванням диференціального рівняння.

Визначення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рів-няння виду

F( х, у, у' ) = 0 або у' = f (х, у),

яке пов’язує незалежну змінну х, невідому функцію у = у( х ) та її похідну.

Визначення. Розв’язком диференціального рівняння на деякому інтервалі

(a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція у = q ( x ), яка при підстановці в рівняння

F( x, у, у' ) = 0

перетворює його в тотожність по х на (a;b).

Функція у = q (x, C ), яка залежить від аргументу і довільної сталої C, називається загальним розв'язком рівняння в області D, якщо вона задовольняє дві умови:

1. функція q ( x, C ) є розв'язком рівняння при будь- якому значенні сталої C із деякої множини;

2. для довільної точки ( х0 , у0 )  D можна знайти таке значення C = C0, що функція у = q ( x, C0 ) задовольняє початкову умову q ( x0, C0 ) = у0.

Визначення . Частинним розв'язком рівняння називається функція

у = q ( x, C0 ),

яка утворюється із загального розв’язку у = q ( x, C ) при певному значенні сталої C= C0 .

Якщо загальний розв'язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння

Ф ( х, у, С) = 0,

то такий розв'язок називають загальним інтегралом диференціального рівнян-ня

F ( x, у, у' ) = 0.

Рівність Ф ( х, у, С0 ) = 0 називають частинним інтегралом рівняння.

Найвищій порядок похідної, яка входити в диференціальне рівняння, нази-вається порядком диференціального рівняння.

Задача Коші

Визначення. Сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Задача в якій необхідно знайти частинний розв'язок рівняння у' = f ( x, у) при початковій умові у ( х0 ) =у0, називається задачею Коші для диференціаль-ного рівняння першого степеня.

У дослідженнях різноманітних життєвих та економічних проблем найчастіше використовують диференціальні рівняння першого та другого порядків певних типів та відповідні їм задачі Коші.

У теорії звичайних диференціальних рівнянь можна виділити дві основні

задачі:

1. знаходження диференціального рівняння та початкових умов, які описують ситуацію або процес, який досліджують;

2. розв'язування заданої задачі Коші або знаходження загального розв'язку заданого диференціального рівняння.

Приклад.

Знайти загальне рішення диференціального рівняння .

Розв’язування.

Загальне рішення диференціального рівняння знаходиться за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, що попередньо перетворено, таким чином:

Тепер інтегруємо:

− це загальне рішення даного диференціального рівняння.

Припустимо, задані деякі початкові умови: x₀ = 1; y₀ = 2, тоді маємо

При підстановці отриманого значення постійної в загальне рішення одержуємо частинний розв’язок при заданих початкових умовах (рішення задачі Коші)

.

Приклад.

Знайти загальне рішення диференціального рівняння: Знайти особливе рішення, якщо воно існує.

.

Дане диференціальне рівняння має також особливе рішення у = 0. Це рішення неможливо одержати із загального, однак при підстановці у вихідне рівняння одержуємо тотожність. Думка, що рішення y = 0 можна одержати із загального рішення при С₁ = 0 помилкова, адже C₁ = e  0.