Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белоцерковский национальный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Документ Microsoft Word (7)1..docx

Скачиваний:

Добавлен:

21.09.2019

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Перетворення графіків функцій

Побудувавши графік функції , можна за допомогою перетворень одержати графіки функцій , , y=f(x)+a, y=f(kx), y=kf(x), y=f(x+a), y=|f(x)|, y=‌‌‌‌‌ f(|x|).

№	Функція	План побудови	Графік
1		Відобразити графік функції симетрично відносно осі Ox
2		Відобразити графік функції симетрично відносно осі Oy
3	y=f (x)+a	Паралельно перенести графік функції вздовж осі Oy: вгору на \|а\| одиниць, якщо а>0; вниз на \|а\| одиниць, якщо а<0.
4	y=f (x+a)	Паралельно перенести графік функції вздовж осі Ox: вліво на \|а\| одиниць, якщо а>0; вправо на \|а\| одиниць, якщо а<0.
5	y = kf (x)	Розтягнути графік функції вздовж осі Oy в k разів, якщо k>1; Стиснути графік функції вздовж осі Oy в разів, якщо 0<k<1
6	y = f (kx)	Розтягнути графік функції вздовж осі Ox в разів, якщо 0<k<1; Стиснути графік функції вздовж осі Ox в в k разів, якщо k>1;
7	y = \|f(x)\|	Відобразити частину графіка функції , яка лежить під віссю Ox, симетрично відносно осі Ox,а ту частину, яка лежить над віссю Ox і на осі Ox, залишити без змін
8	y = f(\|x\|)	Від кинути частину графіка функції , яка лежить зліва від осі Oy, і відобразити симетрично відносно осі Oy частину графіка, яка лежить справа ві осі Oy і на осі Oy

Послідоовність.Границя послідовності.Властивості границь.

Послідо́вність — функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи

Записується у вигляді , чи коротко . Елементи називаються членами послідовності.

Границя функції в точці.

y f(x)

A + ε

A − ε

0 x

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі х точки ( тобто в самій точці функція може бути й не визначена ).

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х , якщо для кожного  > 0 існує таке число > 0, що для всіх х таких, що

0 < < вико-нується нерівність < ε.

Те ж визначення може бути записане в іншому виді:

Якщо < x < , , то правильна нерівність А − ε < f(x) < A + ε.

Запис границі функції в точці: .

Визначення. Якщо f(x)  A₁ при х тільки при x < , то − називається границею функції f(x) у точці х = зліва, а якщо f(x)  A₂ при х тільки при x > , то називається границею функції f(x) у точці х =

зправа.

f(x)

А₂

А₁

0 x

Наведене вище визначення розглядається у випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = , але визначена в деякому як завгодно малому околі цієї точки.

Границі А₁ і А₂ називаються також односторонніми границями функції f(x) у точці х = . Також говорять, що А – кінцева границя функції f(x).

Границя функції, коли аргумент прямує до нескінченності.

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х, якщо для будь−якого числа  > 0 існує таке число М > 0, що для всіх х, х > M виконується нерівність

При цьому передбачається, що функція f(x) визначена в околі нескінченності.

Записують:

Графічно можна представити:

y y

A A

0 x 0 х

y y

0 x 0 x

Аналогічно можна визначити границі для будь−якого х > M і

для будь−якого х < M.

Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при х .

Теорема 2.

Теорема 3.

Наслідок.

Теорема 4. , при

Теорема 5. Якщо f(x) > 0 в околі точки х = і , то А > 0.

Аналогічно визначається знак границі при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.

Теорема 6. Якщо g(x)  f(x)  u(x) в околі точки х = і , то і .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженою в околі точки х = , якщо існує таке число М > 0, що f(x) < M в околі точки х = .

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при х , то вона обмежена в околі точки х = .

Доведення.

Нехай , тобто , тоді

, або

, тобто

де М =  + А

27.Нескінченно малі та нескінченно великі величини,їх властивості

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при х , де може бути числом або однією з величин  ( + або − ), якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки, якщо вказати до якого числа наближається аргумент х. При різних значеннях функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад.

Функція f(x) = xⁿ є нескінченно малою при х0 і не є нескінченно малою при х1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при х мала границю, яка дорівнює А, необхідно і достатньо, щоб в околі точки х = виконувалася умова

f(x) = A + (x),

де (х) - нескінченно мала при х ( при х ).

Властивості нескінченно малих функцій:

Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при х теж нескінченно мала функція при х .
Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при х теж нескінченно мала функція при х .
Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену в околі точки х = є нескінченно малою функцією при х .
Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорів-нює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, приведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2.

Представимо f(x) = A + (x), g(x) = B + β(x), де , тоді

f(x) g(x) = (A + B) + (x) + β(x)

A + B = const, (х) + β(х) − нескінченно мала, тому

Доведення теореми 3.

Представимо f(x) = A + (x), g(x) = B + β(x), де , тоді

A·B = const, (х) + β(х) − нескінченно малі, тому

Нескінченно великі функції і їхній зв'язок з нескінченно малими.

Визначення. Границя функції f(x) при х , де − число, дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М > 0 існує таке число ε > 0, що нерівність >М виконується при всіх х, що задовольняють умову

0 < < ε. Записується .

Якщо в наведеному вище визначенні замінити умову >М на f(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати так:

x х х

Визначення. Функція називається нескінченно великий при х , де – число або одна з величин , + або −, якщо , де А – число або одна з величин , + або −.

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема.

Якщо f(x) 0 при х (якщо ) і не перетворюється в нуль, то

Деякі важливі границі.

де і − многоч-лени

Разом:

Перша важлива границя:

Друга важлива границя:

Часто якщо безпосереднє знаходження границі функції представляється складним, то можна шляхом перетворення функції звести задачу до знаходження визначних границь.

Крім трьох, наведених вище, границь можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Правило Лопіталя.

Розглянемо ще один спосіб обчислення границь, який грунтується на застосуванні похідних.

Теорема. Нехай функції f(x), g(x) визначені і диференційовні в околі точки , за винятком, можливо, самої точки , причому

і у вказаному околі g'(x) ≠ 0. Тоді якщо існує границя відношення похідних функцій

, то існує і границя відношення функцій і ці границі рівні між собою: = .

Теорема. Нехай функції f(x), g(x) визначені і диференційовні в околі точки і в цьому околі

і у вказаному околі g'(x) ≠ 0. Тоді якщо існує границя відношення похідних функцій

, то існує і границя відношення функцій і ці границі рівні між собою: = .

Виражене даними теоремами правило обчислення границь називають правилом Лопіталя .

Правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеностей виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як , , , , . Щоб розкрити дані невизначеності їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лопіталя.

Покажемо, як ці невизначеності зводятся до основних:

а). якщо і , то невизначеність виду можна звести до основних так:

, або .

б). якщо , то невизначеність виду зводиться до невизначеності : .

в). якщо , то невизначеність виду можна звести так:

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і знаменник даного дробу.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 − 32 = 4; D = 64 − 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тоді .

Приклад. Знайти границю.

домножим чисельник і знаменник дробу на спряжений вираз: =

= .

Приклад. Знайти границю.

29.Границя функції в точці.Односторонні границі.Способи обчислення границь

зправа.

f(x)

А₂

А₁

0 x

Границя функції, коли аргумент прямує до нескінченності.

При цьому передбачається, що функція f(x) визначена в околі нескінченності.

Записують:

Графічно можна представити:

y y

A A

0 x 0 х

y y

0 x 0 x

Аналогічно можна визначити границі для будь−якого х > M і

для будь−якого х < M.

Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при х .

Теорема 2.

Теорема 3.

Наслідок.

Теорема 4. , при

Теорема 5. Якщо f(x) > 0 в околі точки х = і , то А > 0.

Аналогічно визначається знак границі при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.

Теорема 6. Якщо g(x)  f(x)  u(x) в околі точки х = і , то і .

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при х , то вона обмежена в околі точки х = .

Доведення.

Нехай , тобто , тоді

, або

, тобто

де М =  + А

Односторонні границі

При дослідженні функції корисні поняття односторонніх границь.

Визначення 3 (Гейне). Число А називається правою (лівою) границею функції f(x) в точці х₀, якщо для довільної послідовності {x_n}X, x_n x₀ (x_n x₀) (nN), збіжної до х₀ , відповідна послідовність значень функції {f(x_n)} збіжна до А. При цьому вживають відповідно позначення

f(x_n)=A f(x_n)=A

або

f(x₀+0)=А (f(x₀-0)=А).

В окремому випадку, коли х₀=0, пишуть f(x_n)=A f(x_n)=A .

Визначення 4 (Коші). Число називається правою (лівою) границею функції в точці х₀ , якщо для будь-якого знайдеться таке число , що при всіх х, які задовольняють нерівностям

виконується нерівність

Визначення 3 і 4, звичайно ж, еквівалентні.

Зв’язок між односторонніми границями і границею функції встановлює теорема 3.

Теорема 3. Функція f(x) має границю в точці х₀ тоді й тільки тоді, коли існують їх права і ліва границі в цій точці, які збігаються між собою, при цьому

30.Похідна,її фізичний та геометричний зміст

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Визначення. Похідною функції у = f(x) за аргументом х називають границю відношення приросту функції ∆х, коли ∆х довільним образом прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її позначають через f′(x) або у′ або у′х, або , або . Отже, математично похідна функції визначається за формулою:

y f(x)

f(x₀ +x) P

Визначення. Операцію знаходження похідної функції у = f(x) називають диференціюванням цієї функції. Функцію f(x), яка має похідну в точці х, називають диференційованою в точці х.

Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то її нази-

вають диференційованою у цьому проміжку.

Повертаючись до розглянутих вище задач, які привели до поняття похідної, робимо такі висновки:

механічний зміст похідної: похідна S′(t) є величиною миттєвої швид-

кості в момент t тіла, що рухається за законом S = S(t);

геометричний зміст похідної: похідна f′(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою х;
економічний зміст похідної: похідні V′(x), D′(x), P′(x) дорівнюють маргінальній вартості, доходу та прибутку, відповідно.