32. Моделирование тенденции временного ряда(вр)
Для мод-ния тенденции ВР строится аналит. ф-ция, хар-щая зависимость уровней ряда от времени (тренда). Этот способ наз. аналитическим выравниванием ВР. Т.к. зависимость от времени может принимать разные формы, то для построения трендов исп-ют разл. виды функций:
• линейный тренд: уt=а+bt;
• гипербола: уt=а+b/t;
• экспоненциальный тренд: уt=е а + b t;
• тренд в форме степенной функции уt=аtb;
• парабола второго и более высоких порядков уt=а+b1t+b1t2+…+bntn.
Параметры трендов м. определить обычным МНК, используя в кач-ве незав. перем. время t, а завис. – фактические уровни ВР уt.
Сущ. неск. способов опр-ния типа тенденции. Наиб. распростр. явл. качеств. анализ процесса, построение и визуальный анализ графика. Тип тенденции м. определить по знач. автокорреляции, если ВР имеет лин. тенденцию, то автокор. ур. ряда 1-го пор (между уt и уt–1) имеет значимую величину. Чем сильнее выражена нелин. тенденция во ВР, тем в большей степени будут различаться значения указ. коэф-тов.
Осн. показателем правильно выбранного тренда явл. коэф. детерминации R2.
Выс. значения коэф-тов автокорреляции 1-го, 2-го и 3-го порядков говорят о том, что ряд содержит тенденцию. ≈ равные знач. r по ур-ням ряда и по их ln позволяют сделать вывод: если ряд содержит нелин. тенденцию, то она выражена в неявной форме, т.е. для модел-ния ряда м. исп-ть и лин. и нелин. тенденцию.
Наиболее простую интерпретацию им. пар-ры лин. и показ. трендов.
Для лин. тренда: а – нач. уровень ВР (t = 0); b – ср. за период абс. прирост уровней ряда.
Расчет по нелин. тренду значения уровней ряда опр-ся 2мя способами: 1) последовательно "вставлять в найденное ур-ние тренда значения t, т.е. ŷ1лин = а+bt1; 2) в соответствии с интерпритацией. пар-ров лин. тренда каждый последующий уровень – сумма предыд. уровня и ср. абсолютного прироста т. е. ŷtлин = ŷt-1лин+b.
Для показат. тренда (уt = е а + bt= е ае bt): е а – нач. уровень ВР (t = 0= е а); еb – ср. за единицу времени коэф-т роста уровней ряда.
При наличии неявной нелин. тенденции необх. дополнять методы выбора качественным анализом динамики изучаемого показателя, с тем чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда.
37. Стохастические процессы. Определения. Эргодичность
Набор случ. эл-тов
X(t),
где t
θсR
(веществ.
числа) наз. стохастическим
процессом(СП).
Дискр. СП опр-тся как посл-ть случ. переменных X (t) в дискр. моменты времени t = t1, t 2, ..., tТ
Мат. ожидание E(Xt) м. изменяться во времени т.е. явл. ф-цией среднего от времени μt = E[Xt]
Также и дисперсия σt2 = E[(Xt – μt)2]
Для случ. процесса
в
общ. сл. в каждый момент времени
опр-ная дисп. Хар-кой случ. процесса явл.
автоковариация γt1,t2
=cov(Xt1,
Xt2)
= E[(Xt1-
μt1)(Xt2-
μt2)].
В
общ. виде зависит от каждого t1
и
t
2.
СП Xt наз. стационарным в сильном смысле, если совместное распр-ние вероятностей всех переменных Xt1, Xt2,…, Xtn то же самое, что и для переменных Xt1+τ, Xt2+τ,…, Xtn+τ. Cтац. в слабом смысле наз. СП, для кот. среднее и дисперсия независит от момента измерения, а автоковар. зависит только от длины лага между переем, т.е. μt =μ = const; σt2 = σ = const; γt1,t2= γt2–t1= γτ, где τ = t2 - t1 (лаг)
Число периодов, по кот. рассчитывается коэф. автокоррел. наз. лагом.
Автоковар. как ф-ция длины лага τ наз. автоковар. функцией, т.е. γ(τ) = γτ = E [(Xt - μ)(Xt-τ – μ)].
Для дискр. процессов поскольку t=1, 2,…,T величина лага также м.б. дискр., т.е. τ=1,2,… и τ0=σ2 . Автокорреляц ф-ция им. вид: При этом ρτ [-1;1] явл. безразм. величиной.
Замеч. 1) СП стацион. в сильн. см. всегда стацион-рен в слаб.– обр. не верно; 2) Если процесс Xt – стационарен, то его реал-ция (ВР) также стац-рна..
На практике стац-сть ВР означает отсутствие: ·тренда; ·систематич. изм. дисп; ·строго периодичных флуктуаций; ·автокорр. и автоковар. ВР.
Эргодичность
Осн. проблемой в оценивания пар-ров распред. сост. в том, что в общем случае имеется одна ! реализация ВР, т.е. невозможно получить осмысл. оценку. Осн. пар-ры μt, σt2, γτ. Стацион-ть или нестац-ть опред-ся только посредством анализа соответств-го ему ВР. Но многие методы анализа ВР предполагают их стац-сть. Эргодичность –поведение большого класса стац. процессов, когда ср. арифм. со временем сходится к мат. ожиданию μ, что делает возможным оценивание μ, σ2, γτ СП по его реализации.
Эргодичность опр-ся по след. методам: 1) графич. представление ВР и визуальная проверка на наличие тренда (меняющегося среднего, изм-ющейся дисп., устойчивых периодичностей); 2) иссл. на наличие автокор. в реальных данных; 3) тесты на присутствие детерминистического тренда, напр. t-тесты на коэф-ты оценок МНК; 4) тесты на наличие стохастич. тренда (тесты на ед. корень).