32. Понятие предиката

 Предикат - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x1, ..., x1) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x1, ..., x1). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M.

    Пусть задано произвольное множество М .

    Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида

.

    Двуместным предикатом p(x1,x2) на множестве М называется функция вида

и.т.д.

    Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): .

    Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 ("истина") либо значение 0 ("ложь"). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.

    В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято "простое число", и это свойство обозначено через p.

    Пусть, на множестве действительных чисел задан двуместный предикат p(x,y), означающие "x меньше y".

    Этот предикат становится истинным или ложным высказыванием, если x и y заменить действительными числами: "2 меньше 10", "3 меньше 5", "1,9 меньше 0,9" и т.д. Как видим, в этом случае рассматривается отношения между элементами в множестве R. Тогда через p в данном случае обозначено отношение между объектами, где в качестве объектов взяты x и y.

    Таким образом, другими словами, одноместный предикат отражает наличие или отсутствие того или иного свойства у объекта, а предикат от нескольких переменных выражает отношение между объектами в рассматриваемом множестве.

    Пусть задано множество M - область определения предиката p(x1, ..., pn) (М  - произвольное множество).

    Определение. Подмножество множества M, состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат превращается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается следующим образом:

.

33. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

Квантор всеобщности (обозначения:  , ∀) — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных из указанных чисел. Формально говоря, это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…».

Квантор всеобщности — это попытка формализации обозначения того, что нечто (логическое выражение) истинно для всего, или для любой относящейся к делу сущности. Применяется в предикатной логике и символической логике.

34. Исчисление предикатов

Для этого нужно анализировать пропозициональные символы в форме предикатов и аргументов, кванторов и квантифщированных переменных. Логика предикатов предоставляет нам набор синтаксических правил, позволяющих выполнить такой анализ, набор семантических правил, с помощью которых интерпретируются эти выражения, и теорию доказательств, которая позволяет вывести правильные формулы, используя синтаксические правила дедукции. Предикатами обозначаются свойства, такие как "быть человеком", и отношения, такие как быть "выше, чем".

Ниже приведены синтаксические правила исчисления предикатов первого порядка.

Любой символ (константа или переменная) является термом. Если rk является символом k-местной функции и а1 ..., <xk являются термами, то Гk(a1..., ak) является термом.