- •2. Группы аффинных преобразований плоскости и пространства и их подгруппы. Признаки классификации. Применение преобразований плоскости к решению задач. Взаимосвязь движений и подобий.
- •3. Топология. Топологические пространства и многообразия. Классификация многообразий. Гомеоморфизм и теорема Эйлера.
- •4. Неевклидовы геометрии. Общие вопросы аксиоматики. Особенности плоскости Лобачевского. Метрика. Модели плоскости.
- •5. Векторы и операции над ними. Векторы в трёхмерном пространстве. Векторный и координатный методы решения задач.
- •6. Линии и поверхности 2-го порядка. Классификация линий. Теорема о подобии линий 2-го порядка.
3. Топология. Топологические пространства и многообразия. Классификация многообразий. Гомеоморфизм и теорема Эйлера.
] во мн-ве Х к-л способом выделена система подмнож-в, облд.след.св-вами:1)пустое мн-во и само Х сист. ; 2) -ие семейства п/мн-в из сист. сист.; 3)-ие конечн.семей-ва п/мн-в из сист. сист.. В этом случ.гов.,что на мн-ве Х опред. топология, а пару (Х,) наз. топол. простр-вом. Св-ва 1)2)3) аксиомы топол-ии. Элем-ты мн-а Х наз. точками, а эл-ы из открыт. мн-вами прос-ва (Х,).В одном и том же мн-ве Х м.вводить разные топ-ииразличные топол. прос-ва. Ех: рассм. Х={a,b}. На Х м. задать след. топол.: а)={;Х} – антидискретная топ-я; б)1={,{a},{b},{a,b}} – дискретн. топ-я; в) 2= {,{a}, {a,b}}, г) 3= {,{b}} – связное двоеточие. Отобр-е f: XYназ. гомеоморфизмом, если оно вмаимоодноз-но и вз-непрерывно. Для введения пон-ия Г-зма м. предст. себе каждую фигуру (пов-ть) как произв-о деформируемую и сост.из неразрыв. матер-а. Получ. в рез-те преобр-я фигура (пов-ь) и исход., св-ва кот. сохран. в искаж-ой, наз. в топ-ии гомеом-ми. Св-ва: связность (невозм-ь разбить мн-во на к-н 2 непуст., непересек., открыт. мн-ва); лин-я связ-ть (возм-ь соед-я 2 точек мн-ва линией, целиком мн-у); отделимость (-ие у 2 точек мн-а непересек окрес-тей); компактность (замк-ть и огран-ть мн-ва одновр-о). Ех: а) ] сфера с границей Г-на замк-му кругу б) интер-л Г-ен прямой и т.д. Многооб-ия: Прос-во, у кажд. точ. кот . окрес-ть, Г-на пр-ву Rn (или внутренности n-мерн. шара), наз.n-мерн. многообр-ем. Ех мно-зий: а)n=1 одномер. Мн: прямая, окр-ть, 2 окр-ти, окр-ть и прям, все ЛВП (кроме -ся прям.) б) n=2 двумер. Мн: сфера, пл-ть. Конус – не явл. мно-ем. Пр-во наз. Мн-зием с краем, если одна часть его Г-на Rn (внутр. точки), др. часть R+n={x1,x2,..xn:x10}Rn .Мн-во всех краевых (..) наз. краем Мн-зия. Т Эйлера: В простом многогран-ке сумма числа вершин и числа граней на две единицы больше числа его ребер. Д-во: Рассм. произв. многогран-к F. 0число вершен, 1ч. ребер, 2ч. граней. Грани мног-ка F образ-т клеточное разлож-е его границы, эйлер. харак-ка кот. 0-1+2 .Т.к. многогр-к простой, то он явл. мног-ком нулевого рода, т.е. он Г-ен сфере без дыр и ручек. Изв-на формула: (Qp,r)=2-2p-r; p– ч.дыр, r– кол-о ручек (b(F)) =2 (b-граница).
0-1+2=2;
0+2=2+ 1
Эйл-а хар-ка ручки 0=4;
1=6; 2=2;4-6+2=0
Эйлерова хар-ка листа Мебиуса:
0=4;1=6;
2=2;
4-6+2=0.
Классиф-я многообразий: 1) ] S-сфера с центром в точке О, радиуса r; -пл-ть, удалённая от О на расстоянии h,где 0<h<r.Q1=S/F – многообразие с краем, кот. гомеоморфна замкнутому кругу. Замк круг гомеоморфен Δку. 0=3; 1=3; 2=1; =3-3+1=1(Q1)=1 многообразие наз. сферой с одной дыркой. Рассм. Qr –сферу с r дырками. Q2-сфера с 2 дырками. Она гом-на замк-му кругу с 1 дыркой.
0=4; 1=6;2=2; 4-6+2=0; (Q2)=0; и т.д. Методом мат. индукции м. док-ть, что эйлерова хар-ка сферы с r дырками (Qr)=2-r. 2) Край сферы Q2 с 2-мя дырками сост. из 2-х окружностей 1’ и 2’. Ручка также состоит из 2-х одномерных многообразий.Приклеим ручку кQ2.Получим новое многообразие,которое наз.сфера с одной ручкой, кот-е Гом-но тору. Q2p+r – сфера с 2p+r дырами, p пар дыр заклеено ручками r дыр оставлено. (Qp,r)=2-(2p+r)=2-2p-r; p –род Мног-ия, r –число контуров. 3)Известно, что край листа Мебиуса гомеоморфен окр-ти. Приклеем лист Меб-а к краю Мног-ия Q1. Возьмем сферу Qp+1 с p+1 дырами и все дыры заклеим листами Меб-са. получим неориент. Мног-ие (т.к. лист Меб-са-неориент.) (Qp+1)=2-(p+1)=1-p эйлеров. хар-ка этого мног-ия 1-p. При этом учит-ся, что эйл. хар-ка листа Меб-са =0.
Классиф-я проводится. по 2м признакам: 1)ориентируемое или нет; 2) значение эйлеровой характ-ки (число контуров, род многообразия). Т1. ориентированное компактное многообразие гомеоморфно некоторому многообразию Qp,o (p-число ручек, о-число дыр).ориентированное компактное многообразие с краем гомеоморфно Qp,r.Т2: 2 ориентированных компактных многообразия гомеоморфныони имеют один и тотже род (одну и ту же эйлерову хар-ку). 2 ориентированных компактных многообр. с краем гом-ны они имеют один и тот же род и одно и тоже число контуров. Т3: компактное неориен-ное многообразие гомеоморфно сфере с дырками, заклеенными листами Мебиуса.