4. Неевклидовы геометрии. Общие вопросы аксиоматики. Особенности плоскости Лобачевского. Метрика. Модели плоскости.

Вся геометрия Лобач-го основана на V постулате Лобач-го: ] а – произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в пл-ти, опр-ой точкой А и пр-й а, сущ. не м 2х пр-х, прох-х через т. А и не пересек-х пр-ю а. На пл-ти Лоб-го имеют место след-е случаи взаим-го распол-я прям-х: 1) параллель-е 2) расход-ся 3) пересек-ся.

Т1. если пр-е АВ и СД не имеют общ-х точек и сущ. точки Р и Q такие ,что РАВ и Q  СД, и  внутр-й луч угла QРВ  луч QД, то АВСД.

Т2. ] АВ-произв-я напрвлен-я пр-я, а М-точка, не леж-я на ней. Тогда в пл-ти МАВ сущ. одна и только одна пр-я СД, проход-я через Т.М и параллель-я пр-й АВ. Лемма. Если АВ//СД, то сущ. ось симм-и пр-х АВ и СД.

Т3. а) Если АВ//СД, то СД//АВ. б) Если АВ//ЕF, ЕF//СД и пр-е АВ и СД не совпад-т, то АВ//СД.

Пр-я АВ наз. параллельной прямой СД, если эти рп-е не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, леж-е соответ-о на пр-х АВ и СД, любой внутренний луч угла QРВ  луч ОД.

Если опр-ть конкретное направление прямой а (н/р прямые АВ и ВА рассм. как 2 различные прямые), то и каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят 2 прямые, параллельные прямой а в 2х разных направ-х. Эти 2 прямые образ-т рав-е острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из них наз. углом параллел-ти в т. М относительно прямой а.

Т5. 2 прямые на пл-ти Лобач-го наз. расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны.

Т.6. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

Расходящиеся прямые неограниченно расходятся друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра, а параллельные прямые неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении асимптотически приближаются в другом.

Для док-ва непротиворечивости системы аксиом пл-ти Лобач-го необх. иметь представление о таких моделях пл-ти Лоб-го, как модель на псевдосфере (модель в круге). Все док-ва непротиворечивости геометрии Лоб-го имеют услов-й хар-р: Геом-я Лоб-го не может содержать противоречий, если их не содержит Евклид-а

Для построение арифм-й модели отождествим геометр-ю пл-ть с координатной пл-тью, точками кот. явл. пары чисел (х, у) – координаты точки, а прямые описываются уравнением у=кх+в или х=а.

Модель Пуанкаре геометрии Лоб-го. Роль полупл-ти Лоб-го играет открытая полупл-ть, за роль прям-х-примем содерж-ся в ней полуокр-ти, с центрами на огранич-ей ее прямой и лучи,  этой пр-й. Все аксиомы Евклид-й геом-ии выпол-ся кроме аксиомы параллельных,  в этой модели вып-ся геом-я Лоб-го. За угол примем фигуру из 2 лучей с общим началом,не содер-ся в одной прямой.(рис.1).В модели сущ. прямые  граничной прямой. (рис2). Расс-м в модели те аксиомы в кот-е не входит пон-е о рав-е отрез-в и улов. В данной модели вып-ся аксиома паралель-х:ч/з точку А, не лежащую на пр-й а, прох-т бесконеч-о много прямых, не имеющих с а общих точек. (рис1). Все прочие аксиомы о взаимном распол-и пр-х здесь вып-ся. Так на (рис.3) постоим отрезок с данными концами. Затем возьмеи полуокр-ть, представ-ю прямую в модели, проведем пр-ю l, касающ-ся этой полуокр-ти и // гранич-й прям-й. спроект-м полуокр-ть из ее центра на пр-ю l. Получим взаимно-однозначное, сохран-е порядок точек соответ-е м/у точ-и пр-й и полуокр-ти, т.е пр-й модели. Аксиома деления пл-ти также вып-ся. «Прямая»-полуокр-ть делит пл-ть на 2 обл-ти внутр-ю и внеш-ю.Это и будут полупл-ти в нашей модели.Из одной пл-ти нельзя перейти в др. по какой-либо дуге не пересекая раздел-ю их полуокр-ть. Опред-м рав-во отрез-в и улов. Это мы сделаем наложив наложение. Налож-е в модели назовем люб-ю композ-ю отражений. Равными наз-т фигуры совмещ-е наложением.

Проективная модель геом-и Лоб-го. Пл-ть Лоб-го представ-ся внутр-ю круга, пр-е – хордами (с исключ-и концами, поскольку рассм-ся только внутр-ть круга). Преобр-я отраж-я круга на себя, перевод-е хорды в хорды – приним-ся за наложения, так что рав-и считают-ся фигуры внутри круга, кот-е отобр-ся одна на другую при таких преобр-х круга. преимущ-во этой модели в том, что пр-е изобр-ся наглядно хордами прямол-и отрез-ми. Модель названа проективной, т.к отобр-я, кот-е представ-т здесь наложения –это проект-е преобр-я соответ-о круга и шара.(рис4.)

] Е-не пустое мн-во. На мн-ве Е задана метрика , если каж-й упоряд-й паре эл-в х, у Е постав-о в соответ-е неотриц-е вещ-е число (х,у) т.о: 1) (х,у)=0х=у 2) (х,у)= (у,х) для  х и у. 3) (х,у)+ (у,х) (х,z). Ex. На непустом мн-е Е определим тривиальную метрику: (х,у)={1,если ху; 0, если х=у