5. Векторы и операции над ними. Векторы в трёхмерном пространстве. Векторный и координатный методы решения задач.

Отрезки АВ и СD наз. эквиполлентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Вектор – мн-во всех направленных отрезков, любые 2 из которых эквиполлентны. Операции над векторами: 1. возьмем произвольные векторыа иb. От какой-нибудь т.А отложим вектор АВ =а, затем от т.В отложим вектор ВС=b. Вектор АС=с наз. суммой векторов а иb и обозначается так: с = а + b. Для нахождения суммы 2 неколлинеарных векторов исп. правило Δка и параллелограмма. Для произвольных векторов а, b, с справедливы следующие равенства: 1) а + b = b + а. 2) (а + b) + c = a + (b + c). Для построения суммы нескольких векторов исп. правило многоугольника.

2. Разностью векторов а и b наз. такой вектор х, что b + x = a.

3. Произведением вектора а на число  наз. вектор р, который удовлетворяет усл-м: 1) |p|=|||a|, где || - абсолютное значение числа ; 2) ра, если 0 и ра, если <0. Для произвольных чисел ,  и векторов а и b справедливы след. рав-ва: 1) 1а=а и -1а = -а. 2) (а) = ()а. 3) (а + b)=а + b. 4) ( + )а=а + а.

4. Скалярным произведением 2 векторов наз. число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Для произвольного числа  и произвольных векторов а, b, с справедливы след. рав-ва: 1) ab = ba, 2) (a)b = (ab) и a(b) = (ab). 3) (a + b)c = ac + ab.

5. Смешанным произведением некомпланарных векторов а, b, с, взятых в данном порядке, наз. V параллелепипеда, построенного на этих векторах, снабженный знаком «-», если базис а, b, с правый, и знаком «+», если этот базис левый. Для произвольных векторов а, b, с, d и пр-го числа  имеют место след. рав-ва: 1) abc = bca = cab, 2) abc = -bac, abc = -cba, abc = -acb. 3) (a)bc = (abc), a(b)c=(abc), ab(c)=(abc). 4) (a+b)cd=acd+bcd, a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)= abc+abd.

6. Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b, взятых в данном порядке, называется вектор р, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах; этот вектор  векторам а и b и направлен так, что базис a, b, p имеет правую ориентацию. Для произвольных векторов a, b, c и произвольного числа  имеют место след.равенства: 1) [ab]=-[ba], 2) [a,b]=[ab], [a,(b)]=[ab], 3) [a+b,c]=[ac]+[bc], [a,b+c]=[ab]+[ac].

рассмотрим систему векторов а₁, а₂, …, а_n и зададим n действительных чисел ₁, ₂, …, _n. Вектор b=₁а₁ + …+ _nа_n называется линейной комбинацией данных векторов. Система векторов называется линейно зависимой, если числа ₁, ₂, …, _n, среди которых хотя бы 1 отлично от 0, и такие, что ₁а₁ + …+ _nа_n = 0. Базисом векторного прост-ва наз. такая система векторов, кот. задана в опред-м порядке и удовл-т условиям: 1) сис. лин. независима. 2) вектор прост-ва явл. лин. комбинацией данной сис. векторов. ] е₁, е₂, е₃ – данный базис, а – произв-й вектор прост-ва.  единственные числа а₁, а₂, а₃ такие, что: а=а₁е₁ + а₂е₂+а₃е₃. Говорят, что вектор а разложен по векторам базиса. Коэф-ты а₁, а₂, а₃ наз. координатами вектора а в этом базисе. Базис i, j, k наз. ортонормированным, если его векторы удовлетворяют 2 условиям: 1) |i| = |j| = |k| = 1. 2) если ОЕ₁ = i, OE₂ = j, OE₃ = k, то углы Е₁ОЕ₂, Е₁ОЕ₃ и Е₂ОЕ₃ прямые.

Длина вектора а(а₁, а₂, а₃) в ортонормированном базисе вычисляется по формуле: |a| = .