- •2. Группы аффинных преобразований плоскости и пространства и их подгруппы. Признаки классификации. Применение преобразований плоскости к решению задач. Взаимосвязь движений и подобий.
- •3. Топология. Топологические пространства и многообразия. Классификация многообразий. Гомеоморфизм и теорема Эйлера.
- •4. Неевклидовы геометрии. Общие вопросы аксиоматики. Особенности плоскости Лобачевского. Метрика. Модели плоскости.
- •5. Векторы и операции над ними. Векторы в трёхмерном пространстве. Векторный и координатный методы решения задач.
- •6. Линии и поверхности 2-го порядка. Классификация линий. Теорема о подобии линий 2-го порядка.
6. Линии и поверхности 2-го порядка. Классификация линий. Теорема о подобии линий 2-го порядка.
Мн-во всех т-к прокт-ой пл-ти, корд. кот. удовл-ют в некотором репере R(А1,А2,А3,Е) Ур-ю 2-й степени =0=а11х12+ а22х22+ а33х132+2 а12 х1х2+2 а13 х1х3+2 а23 х2х3=0 наз. ЛВП, причем аij≠0 одновр-но. Ранг квадр-ой формы наз. рангом ЛВП. Лиин. наз. невырожд-ой, если ее r=3, вырожд-ой, если ее r<3. Лемма:Любая прямая пересекает невырожд-ую ЛВП не более, чем в 2-х точках. Д-во(м.о.п.) Пусть пр-я имеет с ЛВП 3 общ. точки М1,М2,М3. Зададим репер R= [А1,А2,А3,Е] след. образом: А1= М1(1;0;0), А2= М2(0;1;0), А3= М3(1;1;0) . А3
Подставл. эти корд. в Ур-ие ЛВП
М1: а11=0, М2: а22=0, М3: а11+ а22+ 2а12=0
ЛВП примет след. вид. а33х32+2 а13 х1х3+ Е
+ 2 а23 х2х3=0.
Найдем ранг:
(М1) А1 Е3 (М3) А2 (М2)
Это противоречит усл-ю леммы , след. наше предпол. неверно и и пр. 2-х т-к перес-я.Проект-ая класифик. ЛВП: изв-о, что всегда сущ. базис, в котор. квадр. формула им-ет норм. вид: ε1х12+ ε2х22+ ε3х32=0, где ε1,2,3=±1, r=0, поэтому м-о выделить следующие виды: 1. r=3, х12+ х22+ х32=0 – нулевая линия (ε1,2,3=1); х12+ х22- х32=0 – овальная линия (ε1,2,3=-1); 2. r=2, х12+ х22=0 – пара мнимых перес. прям; х12- х22=0 – пара действит. перес. прям.; 3. r=1, х12=0 – пара совпав. прям. Пусть задана невыр-ая ЛВП и прям., прох-ая ч-з точки Р (р1,р2,р3) и Q(q1,q2,q3).
В рез-те преобр-ий получ. ур-ие вида: А11λ2+2 А11λμ+ А22μ2=0, А11=∑аijpipj , А12=∑аijpiqj , А22=∑аijqiqj . В завис. от D ур-ия возможны след. случаи:1. D>0 прям. перес. ЛВП в 2-х т-ах. 2. D<0 прям. перес. ЛВП в 2-х комплексно-сопряж. т-ах. 3. D=0 ур-ие имеет ед-ое решение, в этом случ. прям. наз. косат. к ЛВП. Теорема: В кажд. т-е Р(р1,р2,р3) невырожд. ЛВП сущ. ед-ая касат. , задан. ур-ием: (∑аi1pi)х1+(∑аi2pi)х2+(∑аi3pi)х3=0. Пусть задана кривая ВП и т.М не € ей.
Прям. АВ по отнош. к т.М наз. М
ее полярой, а т.М по отнош. к
АВ – полюсом. А В
Точки P и Q наз. сопряженными
отн-но ЛВП, если ∑аijpiqj=0 (1)
Пусть на проективной плоскости задана невырожд. ЛВП. Возьмем как.-нибудь т-у Р(р1,р2,р3) пл-ти и рассм. мн-во q всех т-к Х(х1,х2,х3), кажд. из которых сопряжена с т.Р относ. ЛВП исполь-я (1), получ. ур-е множ-ва q3:
(2)
В рав-ве (1) коэф. аij симм-ы относ. индексов i и j, т.к. аij= аji при i=1,2,3. Поэтому исполь. (1) и (2) получ. теорему: Пусть дана ЛВП. Если т.Q лежит на поляре т.Р, то т.Р лежит на поляре т.Q.