Метод трапеций

Сущность интегрирования методом трапеций составляет кусочно-линейная аппроксимация подынтегральной функции. Соседние точки (x_i,y_i) и (x_i+1,y_i+1), заданные таблицей в интервале axb, соединяются прямыми. Если x₀=a, а x_n=b, то интеграл будет представлять собой сумму площадей n трапеций высотой h каждая. На рис. 15.3 показан графически принцип метода трапеций.

Рис.15.3. Интегрирование методом трапеций

Расчётная формула получается следующим образом:

Итоговая формула выглядит следующим образом

Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом трапеций надо вычислить сумму значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между a и b и умножить эту сумму на шаг интегрирования. К полученному значению прибавляется полусумма значений подынтегральной функции на концах отрезка, умноженная на шаг интегрирования. Совершенно очевидно, что чем меньше интервал h, через которые задаётся значение функции, тем с большей точностью будет вычислен определённый интеграл.

Метод Симпсона

Повысить точность результата вычисления определённого интеграла можно, если заменить линейную аппроксимацию, используемую в методе трапеций, кусочной аппроксимацией кривыми, например, параболой второго порядка. Для проведения каждой параболы требуется три точки. Аппроксимируя подынтегральную функцию параболами, получаем формулу Симпсона:

, или

.

В этой формуле число интервалов должно быть чётное.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом Симпсона надо вычислить отдельно суммы значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между a и b в чётных и нечётных точках. Сумма, полученная для нечётных точек, умножается на 4, а сумма для чётных точек – на 2. К полученным двум суммам прибавляется сумма значений подынтегральной функции на концах отрезка. Полученный итог умножается на 1/3 шага интегрирования.

Все вышеприведённые алгоритмы вычисления определённого интеграла используют заданный шаг интегрирования. Кроме этого, существуют итерационные алгоритмы, в которых вычисления выполняются до заданной точности  результата. При каждой итерации количество узлов интегрирования n удваивается, а затем новый результат сравнивается с результатом, полученным на предыдущем шаге. Вычисления повторяются в цикле, пока разница между результатами не станет меньше .

Задания

1. Набрать текст программы Integral1. Провести вычисления и вывести на принтер (экран) результаты расчётов при n=10; 100; 1000; 10000. Сравнить точность и скорость вычислений.

2. Сохранить под другим именем и модифицировать программу, чтобы она вычисляла значение интеграла методом трапеций. Сравнить точность и скорость вычислений при n=10; 100; 1000; 10000.

3. Сохранить под другим именем и модифицировать программу, чтобы она вычисляла значение интеграла методом парабол. Сравнить точность и скорость вычислений при n=10; 100; 1000; 10000.

4. Сохранить под другим именем и используя три предыдущих примера модифицировать программу, чтобы она последовательно вычисляла значение интеграла методом прямоугольников, трапеций и парабол. Сравнить точность и скорость вычислений при n=10; 100; 1000; 10000. Для этого результаты должны выводиться в виде таблицы:

Результаты вычисления определённого интеграла методами

n	Прямоугольников	Трапеций	Парабол
10
100
1000
10000

Варианты заданий:

№	Интеграл	Точное решение	№	Интеграл	Точное решение
1		29,25	5		1,84147098…
2		0,15	6		1,718281828…
3		/4	7		14,666(6)
4			8		-1