32. Распределение Бозе-Эйнштейна

Обозначим вероятность того, что бозон находится в состоянии с энергией ε, через Р(ε), тогда вероятность перехода другого бозона в это же состояние, в котором может уже находиться n бозонов, определяется выражением: (n+1)Р(ε).

Для того чтобы получить функцию Бозе-Эйнштейна, рассм. модель абсолютно чёрного тела. В этой полости находится n-ное количество фононов (бозон-частиц с целочисленным спином) в одном состоянии. Пусть в этой же полости находится атом, который способен испускать еще один фотон в этом же состоянии что и другие. Вероятность испускания фотона равна: Р_исп=(n+1)Р(ε)

Вероятность поглощения атомом фотона равна: Р_погл=nР(ε)

Пусть полость содержит n атомов способных испустить фотоны с энергией (ε+ħw)

Атом, поглотивший фотон, переходит в возбужденное состояние с энергией E+ε=E+ħw.

Атом, испустивший фотон, переходит в состояние с энергией Е.

Распределение атомов по состояниям подчиняется статистике Больцмана, количество атомов в полости незначительно.

=

Вероятность испускания фотона определяется произведением количества атомов способных испускать на вероятность испускания фотона:

Р_исп=(<n_i>+1)P(ħw)N_возб

Вероятность поглащения фотонов определяется произв. колич. атомов, находящихся в основном состоянии, на вероятность поглащ. фотонов:

Р_погл=<n_i>P(ħw)N_осн

<n_i> - ср. число фотонов, находящихся в полости в одном и том же сост.

Согласно принципу детал. равновес. Р_исп=Р_погл:

(<n_i>+1)P(ħw)N_возб= P(ħw)N_осн

<n_i>=

Получаем функцию распределения Бозе-Эйнштейна для системы с переменным числом бозонов (в результате постоянного испуск. и поглащ. фотонов их чесло меняется).

Если система имеет постоянное число бозонов, то функция распределения Бозе-Эйнштейна примет вид:

<n_i>= , где ε – энергия бозона, μ – химический потенциал (отрицательный).

33. Энергетические зоны кристалла

Чтобы понять возникновение зон в кристалле , рассмотрим n-ое количество одинаковых атомов. Каждый из этих атомов в отдельности имеет энергетический спектр. Если атомы одинаковые, то и энергетические спектры одинаковы. При сближении этих атомов одни и те же энергетические уровни в результате взаимодействия между атомами образуют совокупность, которую можно рассмотреть как расщепление одного энергетического уровня. В результате появятся энергетические зоны, которые могут частично перекрываться.

Если перекрытие зон не наблюдается, т.е. энергетические зоны разделены запрещенным промежутком, мы имеем дело с проводниками или диэлектриками. В случае перекрытия – с п/проводниками.

Есть зоны полностью заполненные электронами при 0 К и полностью свободные при 0 К.

Наивысшую заполненную электронами зону при 0 К назыв. валентной зоной проводимости.

Для проводников валентная зона и зона проводимости перекрываются, образуя одну зону с близко расположенными уровнями, расстояние между которыми порядка 10^-23 эВ

Наивысший заполненный электронами уровень при 0 К – уровень Ферми. Энергия , соответствующая этому уровню – энергия Ферми.

У полупроводников и диэлектриков валентная зона и зона проводимости разделены запрещенным энергетическим интервалом – запрещенной зоной.

E_c – дно зоны проводимости, E_v – потолок валентной зоны, ∆E – ширина запрещенной зоны.

При 0 К все уровни валентной зоны заполнены в соответствии с принципом Паули.

В зоне проводимости при 0 К электронов нет.Если заставить электрон из валентной зоны переместиться в зону проводимости (тепловое, фото-возбуждение, эл. полем), то в этой зоне электрон получит возможность свободного перемещения с одного энерг. ур-ня на другой.