16. Формула Байеса. Вероятность гипотезы.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,В₃…, образующих полную группу.

Т.к. заранее неизвестно какое из этих событий наступает, то их называют гтпотетическими.

– ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОТНОСТИ

Произошло испытание, в результате которого появилось событие А. Проверим как изменились вероятности гипотез, при условии, что событие А уже наступило.

Т.е. будем искать условные вероятности. Р(В₁/A), P(B₂/A)….P(B_n/A)

P(AB) = P(B)*P(A/B)

P(AB) = P(A)*P(B/A)

P(AB₁) = P(A)*P(B₁/A) = P(B₁)*P(A/B₁)

P(B₁/A)=

– ФОРМУЛА БАЙЕСА

Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появляется событие А.

Пример.

Детали попадают для проверки на стандартность у 1-му из 2-х контролеров. Вероятность того, что детальпопадет к 1-му = 0,6, а к 2-му = 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролером = 0,94, а 2-м =0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил 1-й контролер.

Событие А – признание детали стандартной

Событие В₁ – проверил 1-й контролер

Событие В₂ – проверил 2-й контролер

По условию:

Р(В₁) = 0,6 Р(А/В₁)=0,94 Р(В₁/А)=

Р(В₂) = 0,4 Р(А/В₂)=0,98

Р(В₁/А) = - ответ

20.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания.

К характеристикам, описывающим случайную величину относят математическое ожидание. Если известно, что математ. Ожидание числа всех выбираемых очков у одного стрелка > чем у другого, то первый стреляет лучше, чем второй. Определение: Матиматич. ожидание дискретной случ. величины – это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. X (случ. Величина){x1,x2,…xn(возможные значения)} Соответствующие вероятности:p1,p2,…pn. M-математическое ожидание. М(X)=х1*р1+х2*р2+…хn*рn=∑хi pi Математическое ожидание- постоянная величина. Вероятностный смысл математического ожидания: М приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

21. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величене( С-пост. Величина) М(С)=С 2)Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(СХ)=С*М(Х), С-соnst 3)Определение: Произведением независемых случайных величин Х и Y назовем случайную величину ХY. Возможное значение которой равны произведению каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y, а вероятности возможных значений произведения ХY равны произведению вероятности возможных значений. Свойство:Математич. Ожидание произведения 2-х независемых величин = произведению их математических ожиданий М(ХY)= М(Х)*M(Y) 4) Математическое ожидание суммы 2-х случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин М(Х+Y)=М(Х)+М(Y) – это свойство справедливо для зависимых и независимых величин. Теорема:Математическое ожидание числа появления событий в n-независемых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании. P(А)=Р М(Х)=n*р(вероятность появления события в каждом их этих испытаний) Х- число появления события А в каждом из испытаний.