19. Комплексный потенциал фильтрационного течения. Метод суперпозиции для фильтрационных движений жидкости.
Комплексный потенциал фильтрационного течения.
Связь
функции
и
осуществляется условием Коши-Римана
,
и
указывает на то, что
и
можно рассматривать как действительную
и мнимую часть аналитической функции
от комплексного переменного.
,
-комплексный
потенциал течения. Производная
аналитической функции
,
не зависит в силу условий Коши-Римана
от направлений изменения dz.
– комплексная скорость течения. По
модулю комплексная скорость = модулю
вектора скорости.
Метод суперпозиции
Физический смысл метода наложения решений состоит в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами 1, 2, ... n каждый из которых удовлетворяет уравнениям , то и сумма вида Сумма( Сi i) - также удовлетворяет этим уравнениям. Здесь Ci -произвольные постоянные, пропорциональные например дебитам добывающих скважин.
Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.
Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах имеющих контур питания или непроницаемую границу, той или иной формы. В этом случае для выполнения условий на границе приходится вводить фиктивные скважины-стоки или скважины-источники за пределами пласта. Путем введения фиктивных скважин добиваются того, что фиктивные скважины совместно с реальными обеспечивают выполнения граничных условий. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин, но уже в бесконечном пласте. В этом состоит метод отображения источников и стоков.
21. Фильтрация в однородном грунте
Жидкость
несжимаемая, вязкость постоянная. Пусть
для жидкости выполняется условие:
Движение в плоскости z.
Тогда уравнения
,
и
(2.81) принимают след. Вид:
,
,
.
.
При стационарных течениях
является функцией от х,у. При нестационарных
от х,у, t.
Из формулы
следует, что потенциал скорости
пропорционален давлению на флюиде. Из
уравнения (2.81) следует
,
.
Выражение для скорости через потенциал
скорости:
,
.
При постоянных ,
,
плоские фильтрационные течения
описываются соотношениями Коши-Римана.
Следовательно
к изучению фильтрации в однородных
грунтах, несжимаемой вязкой жидкости
применимы методы функций комплексного
переменного