2. Метод Зейделя

Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) имеет следующую технологию

(32)

Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения в системе (32) и в формуле (27*), если имеет место соотношение (27), вместо используются уже вычисленные ранее , т.е. (27*) преобразуется к виду

, i = 1, …, n. (33)

Это позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x0_j заменить на x_j и убрать строки x0_i = 1, x0_i = x_i.

Пример. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью  = 0,0001, приводя ее к виду, удобному для итераций.

(34)

Условия (27) для системы не удовлетворяются, поэтому приведем ее к виду соответствующему данному требованию.

(35)

Здесь , значит, процесс Зейделя сходится.

По технологии счета (32)

k	х1	х2	х3	k	х1	х2	х3
0	0.19	0.97	–0.14	5	0.2467	1.1135	–0.2237
1	0.2207	1.0703	–0.1915	6	0.2472	1.1143	–0.2241
2	0.2354	1.0988	–0.2118	7	0.2474	1.1145	–0.2243
3	0.2424	1.1088	–0.2196	8	0.2475	1.1145	–0.2243
4	0.2454	1.1124	–0.2226

Ответ: x₁ = 0.248; x₂ = 1.115; x₃ = –0.224.

Замечание. Если для одной и той же системы методы простой итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее. Однако на практике имеет место ситуация, когда области сходимости этих методов могут быть различными, т.е. метод простой итерации сходится, а метод Зейделя расходится и наоборот. Для обоих методов, если близка к единице, скорость сходимости очень малая.

Для ускорения сходимости тогда используется искусственный прием – так называемый метод релаксации. Суть его заключается в том, что полученное по методу итерации очередное значение пересчитывается по формуле:

(36)

 – как правило, принято изменять в пределах 0 <   2 с каким-то шагом (можно h = 0,1 или 0,2). Параметр  подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.

Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние.

Пример. Рассмотрим результат пятой итерации с применением формулы релаксации. Возьмем  = 1,5.

Как видно мы получили почти результат седьмой итерации.