4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций
Рассмотрим вариант построения итерирующих функций вида (4) для системы (3) с соблюдением условий (6). Напишем их в следующем виде:
1(х, у) =
;
2(х, у) =
;
При этом должно выполняться
.
Коэффициенты
находятся из решения следующей системы
линейных уравнений, которая составлена
по требованиям (6):
(7)
При таком подборе параметров условие (6) будет соблюдено, если частные производные функций F1 и F2 изменяются не очень быстро в окрестности точки (x0, y0).
Пример:
при х0 = 0,8 и у0 = 0,55. Для решения будем искать итерирующие функции в виде:
Составим систему (7). Предварительно определим компоненты системы (7) для x0 = 0,8; y0 = 0,55
;
;
;
;
;
;
;
–1.
Тогда система (7) имеет вид:
1
+1,6+1,92=0
=–0,3
1,1–=0 =–0,5 ее решение.
1,6+1,92 =0 =–0,3
1+1,1–=0 =0,4
Следовательно, итерирующие функции имеют вид:
и по (5) строим итерационный процесс.
4.3. Метод Ньютона для систем двух уравнений
Пусть дана система
Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам
; 
,
где
;
;
n = 0,1,2, ...
и, если Якобиан
0
решение будет единственным.
Начальные значения x0 и y0 определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.
Пример. Найти корни системы
Графическим путем можно найти приближенно x0 = 1,2 и y0 = 1,7.
.
В начальной точке
= 97,910.
По формулам получаем
= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;
= 1,7 – 0,0390 = 1,6610.
Продолжая процесс вычисления при x1 и y1, получим x2 = 1,2343; y2 = 1,6615 и т.д. до достижения желаемой точности.
4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными
Для метода Ньютона функции Fi = (x1, x2, ..., xn) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков.
Пусть известен результат предварительной
итерации при решении (1) дает результат
для
= (a1, a2,
..., an).
Задача сводится к нахождению поправок этого решения: x1, x2, ..., xn.
Тогда при очередной итерации решение будет:
x1 = a1 + x1; x2 = a2 + x2; …, xn = an + xn. (8)
Для нахождения xi разложим Fi(x1, x2, ..., xn) в ряд Тейлора:
(9)
Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно xi:
(10)
Значения F1, F2, …, Fn и их производных вычисляются при x1=a1, x2=a2, ..., xn=an. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|xi| < . При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан
.
По сходимости этот метод выше метода простой итерации.
Раздел 5. Аппроксимация функций
5.1. Постановка задачи
При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f(x).
При этом, как правило, имеют преобладающее место две ситуации.
1. Явная зависимость между х и y
на [a, b]
отсутствует, а имеется только таблица
экспериментальных данных {xi,
yi},
и возникает необходимость определения
y = f(x)
на интервале [xi,
xi/2]
[a,
b]. К этой задаче
относится также уточнение таблиц
экспериментальных данных.
2. Зависимость y = f(x)
известна и непрерывна, но настолько
сложна, что не пригодна для практических
расчетов. Стоит задача упрощения
вычисления значений y
= f(x)
и ее характеристик (
и
т.д.). Поэтому, с точки зрения экономии
времени и материальных ресурсов, приходят
к необходимости построения какой-то
другой функциональной зависимости y
= F(x),
которая была бы близка к f(x)
по основным ее параметрам, но более
проста и удобна в реализации при
последующих расчетах, т.е. ставится
задача о приближении (аппроксимации) в
области определения y
= f(x).
Функцию y = F(x)
называют аппроксимирующей.
Основной подход к решению данной
задачи заключается в том, что y=F(x)
выбирается зависящей от каких-то
свободных параметров эксперимента,
т.е. y = F(x)
= (x,
c1, c2,
…, cn)
= (x,
).
Значения вектора
выбираются из каких-то условий близости
для f(x)
и F(x).
B зависимости от способа подбора вектора , получают различные виды аппроксимации.
Если приближение строится на каком-то
дискретном множестве {xi},
i=
,
то аппроксимация называется точечной.
К ней относится интерполирование,
среднеквадратичное приближение (МНК).
Если множество {xi}
непрерывно, например, в виде отрезка
[a, b], аппроксимация называется
непрерывной или интегральной
(полиномы Чебышева).
В настоящее время на практике хорошо изучена и широко применяется линейная аппроксимация, при которой (x, ) выбирается линейно-зависящий от параметров в виде так называемого обобщенного многочлена:
F(x)
= (x,
)
= c11(x)
+ c22(x)
+ … + cnn(x)
=
; (1)
здесь k(x) – какая-то выбранная линейно-независимая система базисных функций. В качестве их могут быть, например,
– алгебраическая: 1, x, x2, ..., xn, ...;
– тригонометрическая: 1, sin(x), cos(x),… sin(nx), cos(nx),…;
– экспоненциальная: e0x, e1x, …, enx, …;
где {i} – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.
Важным является, чтобы эта система была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию посредством (1) c заданной точностью на всех интервалах [а,b] определения y = f(x).
Для большинства практических задач наиболее удобна первая из них, представляющая собой в итоге обычные алгебраические многочлены.