1. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов
В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования хТ по отношению к узлам интерполирования.
Пусть функция f(x) задана таблицей значений fk = f(xk) = yk в узлах xk=x0+kh (k = ), h = xk+1 – xk = const.
На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула
,
k =
;
при условии, что 0
= 1; 0! = 1. (22)
Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы
(23)
При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).
Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (x – x0)/h. Тогда имеем:
x = x0
+ kh;
;
,
…,
;
и (23) примет вид
N(x0
+ th) = y0
+ t
.
(24)
Выражение (24) может аппроксимировать y = f(x) на всем отрезке [x0, xn]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x0 x x1. Для других значений аргумента, например, для x1 x x2, вместо x0 лучше взять значение x1. Тогда (24) можно записать в виде
N(xi+th)
= yi+
;
i = 0,1,… (25)
Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется тем, что разности kyi вычисляются через значение функции yi, yi+1, ..., yi+k, причем i + k n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k n – i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только y, 2y, 3y.
Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x – xn) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде
N(xn
+ th) = yn
+
.
(26)
Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя.
Погрешность метода Ньютона:
,
при t =
,
– принадлежит
отрезку.
Рассмотрим пример. Вычислить значение функции y = f(x), заданной таблицей в точках x = 0,1 и x = 0,9. Строим таблицу 1 для конечных разностей
-
x
y = f(x)
у
2у
3у
4у
5у
0
1,2715
1,1937
0,2
2,4652
–0,0146
1,1791
0,0007
0,4
3,6443
–0,0139
–0,0001
1,1652
0,0006
0,0000
0,6
4,8095
–0,0133
–0,0001
1,1919
0,0005
0,8
5,9614
–0,0128
1,1391
1
7,1005
Используя для расчета верхние значения конечных разностей, получим при x = 0,1 значение t = (x – x0)/h = (0,1 – 0) / 0,2 = 0,5. По формуле (24) получим
f(0,1)
N(0,1) = 1,2715 + 0,5
1,1937+
+
.
По формуле линейной интерполяции f(0,1) 1,8684; = {0,0018}.
Значение функции в точке x = 0,9 вычислим по формуле (26). В данном случае t = (x – xn) / h = (0,9 – 1) / 0,2 = –0,5. Используя нижние значения конечных разностей, получим
f(0,9) N(0,9) = 7,1005 – 0,5 1,1391 –
–
–
.
Если считать по (24) f(0,9) = 6,532522641.
Линейная интерполяция f(0,9) = 6,53095; = {0,00155}.