5.2. Интерполирование функций

Интерполирование по определению предполагает нахождение промежуточных значений величины заданной таблицей или графиком по некоторым ее значениям. Относительно функциональных зависимостей она является одним из основных видов точечной аппроксимации. Суть интерполирования в данном случае заключается в следующем:

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b], на котором должна быть обеспечена близость f(х) и (х). На данном отрезке выбирается система точек, называемых узлами, по правилу:

a  x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n  b.

Их число равно количеству параметров в (1).

Известны значения функции f(х) в этих узлах, т.е.

y_i = f(x_i),

Задача интерполирования сводится к подбору многочлена согласно (1) вида:

, (2)

с действительными коэффициентами с_k, найденными по правилу:

, (3)

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом.

Процедуру (2) с использованием условий (3) называют глобальной интерполяцией. Если же многочлен (2) строится только для отдельных участков отрезка [а, b] (области определения f(х)), т.е. для m интерполяционных узлов, где m < n, то интерполяцию называют локальной.

Матрица системы (3) и ее определитель имеют следующий вид:

|G|  0, (4)

так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (3) имеет единственное решение, т.е. коэффициенты многочлена (2) находятся однозначно.

Заметим, что условие (3) обеспечивает близость f(х) и F(х), по любой технологии ее получения, т.е. в узлах интерполяции f(х) и F(х) совпадают по их значениям.

Если (2) и (3) используются для вычисления значений функции для случая x < x₀ и x > x_n такое приближение называется экстраполяцией.

5.3. Типовые виды локальной интерполяции

5.3.1. Линейная интерполяция

Линейная интерполяция состоит в том, что заданные точки таблицы (x_i, y_i), ( ) соединяются прямыми линиями и исходная функция f(х) приближается на интервале [а, b] к ломаной с вершинами в узлах интерполяции. В общем случае частичные интервалы [x_i–1, x_i]  [a, b] различны. Для каждого отрезка ломаной можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i–1, y_i–1) и (x_i, y_i). В частности, для i-го интервала в виде:

.

Тогда рабочую формулу можно записать:

(5)

где ,

Из графической иллюстрации видно, что для реализации (5) сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x_T, а затем воспользоваться его границами.

Блок-схема данного алгоритма:

EMBED Word.Picture.8

Теоретическая погрешность R(x) = f(x) – F(x)  0 в точках, отличных от узлов.

где М₂ = max , х  [x_i–1, x_i].

5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция

В данном случае в качестве интерполяционного многочлена используется квадратный трехчлен на отрезке [x_i–1, x_i+1]  [а, b] в виде:

(6)

.

Для определения коэффициентов a_i, b_i, c_i составляется система из трех уравнений согласно условиям (3), а именно:

(7)

Алгоритм вычисления аналогичен предыдущему, только вместо соотношений (5) используется соотношение (6) с учетом решения (7). Очевидно, что для x_T  [x₀, x_n] используются три ближайшие точки.

Графическая иллюстрация метода

EMBED Word.Picture.8

Теоретическая погрешность вне узлов интерполяции

R(x) = (x – x₀)  (x – x₁)  (x – x₂)