6.4. Выбор шага интегрирования для равномерной сетки

Данная задача состоит в выборе шага h, обеспечивающего заданную точность  вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования.

Известны два подхода к решению данной задачи:

1) выбор шага по теоретическим оценкам погрешностей (23);

2) по косвенным схемам (эмпирическим оценкам).

6.4.1. Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей

Пусть требуется вычислить интеграл с точностью . Тогда, используя формулу для R, выбирают шаг так, чтобы

| R | < /2 .

Учитывается также число знаков после запятой, чтобы погрешность округления не превышала /2.

Пример. С помощью формулы Симпсона вычислить с точностью  = 10^–3.

Решение. Выберем шаг h.

;   [a,b], т.е.   [/4, /2] ;

Согласно соотношений (23), получим

< 0,510^–3.

Вычислим f ^IV(x)

. (24)

Оценим | f ^IV| на отрезке [/4, /2]. Воспользуемся величинами из (24) и . Они положительные и убывают, следовательно, их максимальное значение в точке x = /4.

При этом + < 81. Таким образом, < 0,510^–3; h⁴ < 1410^–4; h  0,19.

С другой стороны для данного метода h выбирается с учетом того, чтобы [/4, /2] делился на четное число отрезков. Этим двум требованиям отвечает h=/24 = 0,13 < 0,19, при котором n = = 6. Тогда, чтобы погрешность округления не превысила 0,510^–3 достаточно вычисления выполнить с 4 знаками после запятой.

Составим таблицу , с h = /24 = 7 30´ = 0,1309

i	xi^0	xi	sin x	y0, y6	y2m	y2m–1
0	45 00´	0,7854	0,7071	0,9003
1	52 30´	0,9163	0,7934			0,8659
2	60 00´	1,0472	0,8660		0,8270
3	67 30´	1,1781	0,9239			0,7843
4	75 00´	1,3090	0,9659		0,7379
5	82 30´	1,4399	0,9914			0,6885
6	90 00´	1,5708	1,0000	0,6366
Сумма				1,5369	1,5649	2,3386

Для n = 6 по формуле Симпсона

.

6.4.2. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам

1. Двойной пересчет

В связи с тем, что вычисления максимального значения по абсолютной величине k-ой производной приводят к громоздкости расчетов, на практике прибегают к искусственным приемам достижения заданной точности. А именно, определенный интеграл вычисляют по какой-либо квадратурной формуле дважды с шагом h и h/2, что удваивает число n.

Определяют:

если | I_n – I_2n | <  , то I = I_2n ;

если | I_n – I_2n | >  , то берут шаг h/4; (25)

если | I_2n – I_4n | <  , то I = I_4n .

В качестве начального шага h можно рекомендовать h = , где m=2 для формул среднего и трапеций, m=4 – для Симпсона.