2. Схема Эйткина

На практике для повышения точности численного интегрирования широко используется схема Эйткина. Рассмотрим ее смысл.

Расчет проводиться три раза с h₁, h₂, h₃, при этом соотношение между ними . Получают три значения I₁, I₂, I₃.

Производится уточнение по эмпирической формуле:

. (26)

Порядок точности  = .

3. Правило Рунге

Это наиболее популярное практическое правило, разработанное в предположении, что f(x)  C⁴[a, b] для квадратурных формул прямоугольников и трапеций, f(x)  C⁶[a, b] – для формулы Симпсона. В этом случае можно показать, что погрешности R(h, f) имеют следующие представления при h  0:

; (27)

;

.

Суть его также состоит в том, чтобы, организовав вычисления двух значений интеграла по двум семействам узлов, сравнивают результаты вычислений с оценкой погрешности. Объединив (27) можно получить рабочую формулу:

; (28)

где k = 2, m = 2 – для прямоугольников и трапеций;

k = 4, m = 2 – для формулы Симпсона.

4. Другие оценки погрешности

1. Приближенной оценкой погрешности могут быть:

– для трапеции и прямоугольника;

– для формулы Симпсона.

2. Следует заметить, что эмпирические формулы (25), (26), (28) предполагают и автоматическое изменение шага интегрирования h. Для этой цели имеется другая схема расчета, заключающаяся в следующем.

Анализ составных формул I_П, I_Т, I_С показывают, что точное значение интеграла находится между I_Ср.П (формула средних) и I_Т, при этом имеет место соотношение:

I_С = (2I_Ср.П + I_Т)/3. (29)

Соотношение (29) используется и для контроля погрешности вычисления. Если │I_С – I_Т│ ≥ ε, то шаг уменьшают вдвое и расчет повторяют. Если точность достигнута, то окончательное значение интеграла и получают по формуле (29).

6.5. Составные квадратурные формулы с переменным шагом

Проиллюстрируем решение данной проблемы на примере квадратурной формулы прямоугольников.

Пусть f(x)  C²[a, b] с дополнительным ограничением: f "(x) – монотонная знакоопределенная функция на [a, b]. Для определенности возьмем f "(x) – монотонно убывающую положительную функцию.

EMBED Word.Picture.8

Положим x₀ = a. Определим наибольшее значение x₁ из условия (23), т.е. чтобы погрешность для

; · f "() = ; ; (30)

не превышала заданной величины . Очевидно, что для этого достаточно решить (24) относительно x₁.

Имеем x₁ = .

Следующие интервалы определяются аналогично.

Из рисунка видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова:

x_i+1 = ; 0  i  k . (31)

Количество интервалов k неизвестно, т.к. оно определяется как точностью , так и поведением f "(x) на интервале [a,b]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала:

k  .

Суммируя (30) получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:

;

где x_i определяется рекуррентно формулами (31). Для погрешности R имеет место оценка | R |  k.

В общем случае для произвольной функции f(x), если f "(x) – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т.е. от b к a. Для отрицательной производной f "(x) и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a.

В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f(x) = e^–x/,  = 10^–2 с точностью  = 10^–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0;1]. По (31) определим границы интервалов:

x₀ = 0,0000; x₁ = 0,0062; x₂ = 0,0138; x₃ = 0,0237; x₄ = 0,0374;

x₅ = 0,0590; x₆ = 0,1030; x₇ = 0,2990; x₈ = 1,0000.

Общая погрешность имеет оценку R  810^–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия = R, на 721-м частичном интервале:

K = .

В общем случае, если f "(x) на всем интервале [a,b] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то

– сначала следует интервал [a,b] разбить на частичные интервалы, на которых f "(x) монотонна и знакоопределена;

– затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам.

EMBED Word.Picture.8

Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f ^IV(x).

Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять f "(x) и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.